Vektori

Vektori on matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa geometrinen malli, jota käytetään kuvaamaan suureita, joilla on sekä suuruus että suunta. Vektoria kuvataan janalla, jonka toisessa päässä, vektorin kärjessä, on suunnan osoittava nuoli.

Vektori $\mathbf {\vec {a}}$ osoittaa A:sta B:hen

Tarkemman matemaattisen määritelmän mukaan vektori on matematiikassa vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi.

Laajemmassa merkityksessä vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä summa ja skalaarilla kertominen on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Vektorit voidaan merkitä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi $\mathbf {a}$ tai merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi ${\vec {a}}$.

Vektorit geometriassa ja fysiikassa

Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Tasogeometriassa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa avaruusgeometriassa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen reaaliluvun järjestettyinä joukkoina, joiden alkiot ovat reaalilukuja. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0.

Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon, ja sen alkioina ovat pisteen koordinaattien arvot. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.

Tyypillinen vektori l. pystyvektori

Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa:

$a={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}},$

jossa kaikki alkiot $a_{i},~i=1,..,n$ kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa $a={\Big (}a_{1},a_{2},...,a_{n}{\Big )}$ tai tulkitaan matriisin transpoosiksi $a=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]^{\mathbf {T} }$.

Yleisiä laskutoimituksia

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {V}$ summa:

$\mathbf {x} +\mathbf {y}$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen $c\in \mathbb {A}$:

$c\mathbf {x}$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

$\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|$.

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Vektoreille voidaan myös määritellä pistetulo, joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos(\theta )$,

missä $\theta$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

Perusavaruuksien vektorit

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$

alkiot $a_{i}$ ovat reaalilukuja ts. $\forall \left\{1,2,...,n\right\}:a_{i}\in \mathbb {R}$, niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$.

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli $\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$

Jos vektori kuuluu avaruuteen $\mathbb {R} ^{2}$ voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}7\\-5\end{bmatrix}}$

kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

Reaaliavaruuden laskutoimituksia

Reaaliavaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

Yhteen- ja vähennyslasku

Vektorit a ja b sekä niiden summavektori a+b.

Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:

${\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}}$

Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:

${\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}}$

Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa vaihdanta- ja liitäntälakia, toisin sanoen vektoreillekin pätee:

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a}$

ja

$\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c}$.

Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita a ja b vastaavat suuntajanat sekä suunnikas, jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan lävistäjää.

Vektorin kertominen luvulla

Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.

$a{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ab_{1}\\ab_{2}\\ab_{3}\end{bmatrix}}$

Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna a-kertainen. Jos a on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on -a-kertainen.

Pituus eli normi

Vektorin x pituus $\scriptstyle \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|$ eli normi määritellään vektorin alkioiden ($\scriptstyle x_{1},x_{2},x_{3}$) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella

$\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$.

Yksikkövektorit

Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan yksikkövektoriksi.

Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit. Tavallisesti käytetään tasossa $\mathbb {R} ^{2}$ ja kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää ${\vec {\imath }}$ ja y-akselin suuntaiselle merkintää ${\vec {\jmath }}$, kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää ${\vec {k}}$. Tällöin tason vektori

$a={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}},$

voidaan kirjoittaa myös muotoon $a_{1}{\vec {\imath }}+a_{2}{\vec {\jmath }}$

ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori

$a={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},$

muotoon $a_{1}{\vec {\imath }}+a_{2}{\vec {\jmath }}+a_{3}{\vec {k}}$

Skalaaritulo eli pistetulo

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan $n$-ulotteisen avaruuden vektoreille.

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} :=\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|\cos \theta =\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y}$, kun $\mathbf {x,y} \neq \mathbf {0}$, missä $\theta$ on vektoreiden x ja y välinen kulma.

Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.

Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia, toisin sanoen jos a, b ja c ovat vektoreita, pätee:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

ja

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$.

Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty.

Pistetulon sovellutuksia

Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ (W) voidaan laskea pelkkänä voiman (F) ja matkan (s) tulona:

$W=Fs$

Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$

Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan $\mathbb {R} ^{3}$:n ja $\mathbb {R} ^{7}$:n vektoreille

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} :=\mathbf {e} \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|\sin \theta$

missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi $\left|e\right|=1$) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.

Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ määriteltyjen vektoreiden $\mathbf {x}$ ja $\mathbf {y}$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

$\mathbf {x} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k}$

$\mathbf {y} =d\mathbf {i} +e\mathbf {j} +f\mathbf {k}$

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {det} {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=bf\mathbf {i} +cd\mathbf {j} +ae\mathbf {k} -ce\mathbf {i} -af\mathbf {j} -bd\mathbf {k}$

Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$, $\mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k}$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$, $\mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i}$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$, $\mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j}$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0$

Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.

Skalaarikolmitulo

Kolmelle vektorille a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) ja c = (c₁, c₂, c₃) määritellään skalaarikolmitulo eli lyhemmin kolmitulo V seuraavasti:

$V=(a\times b)\cdot c$

Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}$.

Esimerkki

Esimerkki selkokielellä tasogeometrian näkökulmasta.

Liikutaan XY-koordinaatistossa. Lähdetään liikkeelle origosta (0,0), kuljetaan ensin kaksi ylös (vektori ${\vec {a}}$) ja sitten kaksi oikealle (vektori ${\vec {b}}$), jolloinka päädytään pisteeseen (2,2).

Vektorien muutosta ilmaistaan muuttujilla "i" ja "j", jossa "i" ilmoittaa x-akselin suuntaista liikkumista, ja "j" y-akselin suuntaista liikkumista.

Lasketaan muutokset: $2{\vec {j}}+2{\vec {i}}$ . Yhteenlaskulla saadaan: ${\vec {ab}}=2{\vec {j}}+2{\vec {i}}$, poistamalla kirjaimet saadaan loppupiste (2,2).

Katso myös

• Pseudovektori

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Spiegel, Murray R.: Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 1974 (1959). ISBN 978-0070990098.

Aiheesta muualla

• Tietoa vektoreista (Arkistoitu – Internet Archive)