Tasajakauma

Tasajakauma eli tasainen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein

Tasajakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\mathcal {U}}(a,b)$ tai $\mathrm {unif} (a,b)$
Parametrit	$-\infty <a<b<\infty \,$
Määrittelyjoukko	$x\in [a,b]$
Tiheysfunktio	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}$
Kertymäfunktio	${\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}$
Odotusarvo	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Mediaani	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Moodi	mikä tahansa välin $[a,b]$ piste
Varianssi	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Vinous	0
Huipukkuus	$-{\tfrac {6}{5}}$
Entropia	$\ln(b-a)\,$
Momentit generoiva funktio	${\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}$
Karakteristinen funktio	${\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}$

$X\sim \operatorname {Tas} (a,b)$ $\sim \operatorname {Unif} (a,b)$ $\sim \operatorname {U} (a,b),$

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit $a$ ja $b$ rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman $P(c\leq X\leq d)$ (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi $\scriptstyle {rnd}$) simuloidaan $\scriptstyle \operatorname {Tas} (0,1)-$jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan $\scriptstyle (b-a)\cdot {rnd}+a$.

Todennäköisyysjakauma

Jakauman parametrit $a,b\in \mathbb {R}$ toteuttavat ehdon $a<b$, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli $[a,b]$.

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},$

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

$F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}$

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

$M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x$

$={\frac {1}{t(b-a)}}\int _{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla $M(0)=1.$ Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.

Ensimmäiset origomomentit ovat

$\mu =E(X)=\lim _{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)$

$\mu _{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})$

$\mu _{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})$

$\mu _{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})$

ja niiden yleinen termi on

$\mu _{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.$

Keskusmomenttien yleinen muoto on

$\mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.$

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

$\mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).$

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

$\mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.$

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

$g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}=0.$

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

$\gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.$

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat

Beta-jakauma $\beta (1,1)$ vastaa tasaista jakaumaa.

Tasajakauman universaalisuuslauseen mukaan jokainen jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuttujan vaihdolla muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Tasajakauma Wikimedia Commonsissa

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma