Tasajakauma eli tasainen jakauma [1] todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma , jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti .[1]
Tasajakauma
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}
u
n
i
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {unif} (a,b)}
Parametrit
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}
Määrittelyjoukko
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
Tiheysfunktio
{
1
b
−
a
kun
x
∈
[
a
,
b
]
0
muulloin
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}}
Kertymäfunktio
{
0
kun
x
<
a
x
−
a
b
−
a
kun
x
∈
[
a
,
b
]
1
kun
x
>
b
{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}
Odotusarvo
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Mediaani
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Moodi
mikä tahansa välin
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Varianssi
1
12
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}
Vinous
0
Huipukkuus
−
6
5
{\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}
Entropia
ln
(
b
−
a
)
{\displaystyle \ln(b-a)\,}
Momentit generoiva funktio
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}
Karakteristinen funktio
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}}
X
∼
Tas
(
a
,
b
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Tas} (a,b)}
[2]
∼
Unif
(
a
,
b
)
{\displaystyle \sim \operatorname {Unif} (a,b)}
∼
U
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle \sim \operatorname {U} (a,b),}
[1] [2] missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
P
(
c
≤
X
≤
d
)
{\displaystyle P(c\leq X\leq d)}
satunnaisesti väliltä [a,b].[1]
Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi
r
n
d
{\displaystyle \scriptstyle {rnd}}
Tas
(
0
,
1
)
−
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Tas} (0,1)-}
(
b
−
a
)
⋅
r
n
d
+
a
{\displaystyle \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd}+a}
[3]
Todennäköisyysjakauma
muokkaa
Jakauman parametrit
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
<
b
{\displaystyle a<b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot
f
X
(
x
)
=
{
1
b
−
a
kun
x
∈
[
a
,
b
]
0
kun
x
∉
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},}
[1] [4] ja muualla arvon nolla.
Kertymäfunktio on
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
{
0
kun
x
<
a
x
−
a
b
−
a
kun
x
∈
[
a
,
b
]
1
kun
x
>
b
{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}
[1] [4] Tunnusluvut ja momentit
muokkaa
Momenttifunktio
muokkaa
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
M
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
∫
−
∞
∞
e
t
x
f
X
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
e
t
x
1
b
−
a
d
x
{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x}
=
1
t
(
b
−
a
)
∫
a
b
t
e
t
x
d
x
=
e
b
t
−
e
a
t
t
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{t(b-a)}}\int _{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.}
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit . Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla
M
(
0
)
=
1.
{\displaystyle M(0)=1.}
[4]
Ensimmäiset origomomentit ovat
μ
=
E
(
X
)
=
lim
t
→
0
M
′
(
t
)
=
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle \mu =E(X)=\lim _{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)}
μ
2
=
E
(
X
2
)
=
1
3
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle \mu _{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})}
μ
3
=
E
(
X
3
)
=
1
4
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \mu _{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})}
μ
4
=
E
(
X
4
)
=
1
5
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle \mu _{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}
ja niiden yleinen termi on
μ
n
=
E
(
X
n
)
=
b
n
+
1
−
a
n
+
1
(
n
+
1
)
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle \mu _{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}
[4] Keskusmomenttien yleinen muoto on
μ
n
′
=
E
(
(
X
−
μ
)
n
)
=
(
a
−
b
)
n
+
(
b
−
a
)
n
2
n
+
1
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.}
[4] Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
μ
=
E
(
X
)
=
1
2
(
a
+
b
)
.
{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).}
[2] [4] Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
μ
2
′
=
Var
(
X
)
=
σ
2
=
1
12
(
b
−
a
)
2
.
{\displaystyle \mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.}
[2] [4] Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
g
1
=
μ
3
′
μ
′
2
3
/
2
=
0
μ
′
2
3
/
2
=
0.
{\displaystyle g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}=0.}
[5] [6] Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
γ
2
=
μ
′
4
μ
′
2
2
−
3
=
−
5
6
.
{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.}
[6] [7] Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Beta-jakauma
β
(
1
,
1
)
{\displaystyle \beta (1,1)}
[6]
↑ a b c d e f Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive)(luentomoniste), s.62, Turun Yliopisto, 2012
↑ a b c d Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat , s.160−185, luennosta Matemaattinen tilastotiede , Tampereen yliopisto, 2005
↑ Grinstead, C.M. & Snell, J. Laurie: Chapter 5: Important Distributions and Densities (Arkistoitu – Internet Archive), s. 205, oppikirjasta Introduction to Probability (Arkistoitu – Internet Archive)
↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Uniform Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b c Rahiala, Markku : Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s.14, Oulun yliopisto, 2002↑ Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Aiheesta muualla
muokkaa
Commons
Diskreettejä jakaumia
Jatkuvia jakaumia
Moniulotteisia jakaumia
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{muulloin}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0b287f02d26a7f69b34aa3867208932ef4a238)
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff43706bf5c2ad1c3253af62a62f9378836281e)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8529b30a57cc2edfd177689cba21da4391e727)
![{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ca7ada48f3cb34a7e4cdbecf5f95a9453462ae)
