Topologinen aliavaruus

Topologinen aliavaruus on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös indusoiduksi topologiaksi eli relatiivitopologiaksi.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   topologinen avaruus ja S jokin X:n osajoukko. Olkoon  ' inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että   kaikilla  . Tällöin  :n indusoima topologia joukossa S on  , toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat X:n avointen joukkojen ja S:n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan S:n relatiivitopologiaksi jonka S perii X:stä, ja joukkoa S tällä relatiivitopologialla varustettuna X:n aliavaruudeksi.[1]

Vaihtoehtoisesti osajoukon   relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus   on jatkuva.

Yleisemmin voidaan olettaa, että   on mikä tahansa injektio joukosta   topologiseen avaruuteen  . Tällöin S :n relatiivitopologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa   on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa   olevat joukot, joissa   on  :n avoin osajoukko. Tällöin   on homeomorfinen  :ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu relatiivitopologialla. Tällaista kuvausta   sanotaan topologiseksi upotukseksi.

 :n aliavaruutta sanotaan avoimeksi aliavaruudeksi, jos injektio   on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen  :n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on  :n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan suljetuksi aliavaruudeksi, jos   on suljettu kuvaus.

Huomautuksia merkinnöistäMuokkaa

Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos   on  :n osajoukko ja   topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä   ja   käyttää sekä joukoista   ja   käsitettyinä  :n osajoukoiksi, että myös avaruuksista   ja   topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että "  on  :n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että   on  :n avoin aliavaruus, toisin sanoen

(i)  , eli S on avoin joukko topologisessa avaruudessa  , ja
(ii)   on varustettu relatiivitopologialla.

EsimerkkejäMuokkaa

Seuraavassa   tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.

  • Luonnollisten lukujen joukon   relatiivitopologia on diskreetti topologia.
  • Rationaalilukujen joukon   relatiivitopologia ei ole diskreetti topologia; esimerkiksi pelkän nollan käsittävä joukko {0} ei ole avoin joukko  :ssa. Jos a ja b ovat rationaalilukuja, avoin väli (a, b) ja  :n leikkaus on myös rationaalilukujen topologiassa avoin ja [a, b] suljettu joukko, mutta jos a ja b ovat irrationaalilukuja, niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat a:n ja b:n välissä, on tässä topologiassa sekä avoin että suljettu joukko.
  • Suljettu väli [0,1] on  :n aliavaruutena sekä avoin että suljettu, mutta  :n osajoukkona se on vain suljettu.
  •  :n aliavaruutena joukko [0, 1] &cup [2, 3] muodostuu kahdesta avoimesta osajoukosta (jotka samalla ovat myös suljettuja), ja sen vuoksi se on epäyhtenäinen avaruus.
  • Käsitellään puoliavointa väliä S = [0, 1)  :n aliavaruutena. Tällöin [0, 1/2) on avoin aliavaruudessa S, mutta ei avaruudessa  . Samoin [½, 1) on suljettu S:ssä, mutta ei  :ssä. Itsensä osajoukkona S on sekä avoin että suljettu, mutta ei  :n osajoukkona.

OminaisuuksiaMuokkaa

Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon   avaruuden   aliavaruus ja olkoon   inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus  :   on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus   on jatkuva.

Tämä ominaisuus on karakteristinen siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle  :ssa.

Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että   on  :n aliavaruus.

  • Jos   on jatkuva, sen rajoittuma  :ään on jatkuva.[2]
  • Jos   on jatkuva, myös   on jatkuva.
  • Suljettuja joukkoja avaruudessa   ovat  :n suljettujen joukkojen ja  :n leikkaukset, ja vain ne.
  • Jos   on  :n aliavaruus,   on myös  :n aliavaruus ja sellaisena sillä on sama topologia. Toisin sanoen   perii  :stä saman topologian kuin  :stäkin.
  • Olkoon   avaruuden   avoin aliavaruus (jolloin  ). Silloin  :n osajoukko on avoin  :ssä, jos ja vain jos se on avoin  :ssä.
  • Olkoon   avaruuden   suljettu aliavaruus (jolloin  ). Silloin  :n osajoukko on suljettu  :ssä, jos ja vain jos se on suljettu  :ssä.
  • Jos   on  :n topologian kanta, niin   on  :n topologian kanta
  • Metrisen avaruuden osajoukon indusoitu topologia, joka saadaan rajoittamalla metriikka tähän osajoukkoon, on sama kuin saman osajoukon relatiivitopologia aliavaruutena.

Topologisten ominaisuuksien säilyminenMuokkaa

Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan perinnölliseksi.[3] Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan 'heikosti perinnölliseksi.

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Subset topology

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: General Topology. Addison-Wesley, 1966.
  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3.
  • Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6.

ViitteetMuokkaa

  1. Jussi Väisälä: ”Indusointi ja relatiivitopologia”, Topologia II, s. 16. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  2. Jussi Väisälä: ”Indusointi ja relatiivitopologia”, Topologia II, s. 18. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. Jussi Väisälä: ”Metriset ja metristyvät avaruudet”, Topologia II, s. 36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  4. Jussi Väisälä: ”Erotteluaksioomat”, Topologia II, s. 45. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  5. Jussi Väisälä: ”Erotteluaksioomat”, Topologia II, s. 47. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  6. a b Jussi Väisälä: ”Numeroituvuusaksioomat”, Topologia II, s. 48. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.