Tulotopologia

Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.

Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista. [1] Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

 

Joukon X tulotopologia on projektioiden Pi: X -> Xi indusoima topologia.[2]

Tulotopologian kannan muodostavat joukot  , jossa jokainen Ui on avoin joukossa Xi ja Ui ≠ Xi vain äärellisen monta kertaa.[2]

Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio Pj on jatkuva.[2]

Tulotopologia ja laatikkotopologiaMuokkaa

Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot  , missä Uj on mielivaltainen Xj:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.[2]

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.

EsimerkkejäMuokkaa

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot   ja  , toisen   ja  , jolloin topologiat ovat   ja vastaavasti  . Avaruuden kannaksi tulee  , ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni  .

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rn.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa   avoin ei ole esimerkiksi jono  . Sen sijaan   on avoin.

OminaisuuksiaMuokkaa

  • Erotteluaksioomat
    • T0-avaruuksien tulo on T0-avaruus.
    • T1-avaruuksien tulo on T1-avaruus.
    • T2-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T2-avaruus.

LähteetMuokkaa

  1. Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 119–120. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.
  2. a b c d Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-185-7.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.