Yhdistetty funktio

Matematiikassa yhdistetyllä funktiolla tarkoitetaan kahta funktiota siten, että ensiksi muuttuja kuvataan ensimmäisellä funktiolla joksikin arvoksi ja sitten saatu tulos kuvataan toisella funktiolla uudeksi arvoksi. Täsmällisesti:

Esimerkki kahden funktion kuvauksien yhdistämisestä.

Olkoon $f:Y\to Z$ ja $g:X\to Y$ kuvauksia. Tällöin yhdistetty funktio $f\circ g$ (luetaan "f pallo g") tarkoittaa kuvausta, jolle $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ kaikilla $x\in X$. Yhdistetty funktio $f\circ g$ on kuvaus $f\circ g:X\to Z$.

Derivaatta

Jos f ja g ovat reaalilukujen reaaliarvoisia funktioita ja jos lisäksi $g$ on derivoituva pisteessä $x$ ja $f$ derivoituva pisteessä $g(x)$, voidaan yhdistetty funktio $f\circ g$ ketjusäännön avulla:

$D(f\circ g)(x)=f'(g(x))g'(x)$,

missä ' tarkoittaa derivaattaa $x$:n suhteen. Leibnizin merkintää käytettäessä sääntö saa muodon

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).