Pinta-alavektori

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) , niin sen pinta-alavektori on

Pyöreän, tasomaisen levyn pinta-alavektori
.[1][2]

Suunnistuvan pinnan pinta-alavektoriMuokkaa

Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalitMuokkaa

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta   on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia,   ja  , jotka ovat toistensa vastavektorit ( ). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä   tai  .[3] Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.[4]

Jos  on avoin joukko ja pinnalla   on parametriesitys   jokaisessa pisteessä  , niin pinnan yksikkönormaalit ovat

 .[3][5]

Mikäli pinta   voidaan esittää funktion   kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

 .[3][5]

Etumerkki   vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.[5]

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan   pitää olla muotoa

 ,

missä joukot   ovat keskenään pistevieraita ja   sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta   on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan   reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta   on suunnistettu, jos osat   suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.[6]

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.[4]

PintaelementtivektoriMuokkaa

 
Yksikköpallo on paloittain sileä pinta, joka koostuu pallon ylä- ja alapuolikkaista   ja   sekä puolikkaita yhdistävästä ympyrärenkaasta  . Pallopinta voidaan suunnistaa valitsemalla yksikkönormaalin suunta kummallakin puolikkaalla esimerkiksi pinnan ulkopuolelle. Huomaa tällöin pintaelementtivektorin suunta.

Jos   on avoin joukko ja   on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien   ja   avulla  , niin pinnalle   voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori

 ,

missä   tai   riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta.   on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.[5]

Mikäli pinta   voidaan esittää implisiittisesti funktion   kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

 ,

missä   on vektorin    -komponentti.[5] Ts.  . Etumerkki   valitaan siten, että pinnan   suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos   ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen  -akselin suuntaan, valitaan etumerkki  .[5]

Mikäli pinta   voidaan esittää funktion   kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

 ,

missä etumerkki   valitaan kuten edellä.[5]

EsimerkkejäMuokkaa

Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektoriMuokkaa

 
 -tasossa makaavan suorakulmion pinta-alavektori  

Suorakulmio makaa  -tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat  ,  ,   ja   ( ). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio  . Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

 .

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen  -akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali  . Pinta-alavektori on tällöin

 .

Pinta-alavektori ristitulon avullaMuokkaa

 
Vektorien   ja   virittämän suunnikkaan pinta-alavektori on niiden ristitulovektori

Tarkastellaan  :n vektoreita   ja  . Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat   ja  . Vektorien välillä on mitattavissa kulma  . Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys  , missä   ja  . Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

 .

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on

 .

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan  , joten

 .

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

 .

Pallopinnan pintaelementtivektoriMuokkaa

 -säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö  . Muodostetaan pallopinta   siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta   (yläpuoli, jossa  ) ja  (alapuoli, jossa  ) sekä näitä yhdistävästä  -säteisestä ympyrärenkaasta  . Tällöin   ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

 

missä   ja  .[7]

Pinnan   parametriesitys on

 .

Pintaelementtivektori on tällöin

 

Koska  , niin vektori   kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään  . Siis pallopinnan   pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on

 



Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Hänninen, Jari J.: ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op): Luentokalvot 2 (PDF) 2.3.2016. Aalto-yliopisto. Viitattu 14.6.2019.
  2. Knight, Randall D.: Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics, s. 885. 3. painos. Pearson, 2014. ISBN 978-1-292-02078-5. (englanniksi)
  3. a b c Purmonen, Veikko T.: Integraalilaskentaa, s. 109. 2. uudistettu painos. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 1998. ISBN 951-39-0162-9.
  4. a b Knight, s. 898−899
  5. a b c d e f g Knight, s. 901−902
  6. Purmonen, s. 111
  7. Purmonen, s. 47