Kuula (matematiikka)

Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Suljettu kuula eri normiavaruuksissa, kun normina käytetään euklidista normia

Jos on metrinen avaruus sekä ja , niin joukko

on avoin kuula, jonka keskipiste on ja säde sekä

on suljettu kuula, jonka keskipiste on ja säde .[1] Lisäksi määritellään joukko

,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa sanotaan myös pisteen kuulaympäristöksi.[1]

OminaisuuksiaMuokkaa

Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

 [1]

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

 [1]

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

 [1]

Metriikan määritelmästä johtuen  , joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

 [1]

Osajoukon kuulatMuokkaa

Metrisen avaruuden   osajoukossa   avointa kuulaa merkitään  :llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon  . Toisin sanoen  , jos ja vain, jos   (ja  ). Näin ollen

 .

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille.[1]

EsimerkkejäMuokkaa

Avoin ja suljettu väliMuokkaa

Avaruudessa  , varustettuna metriikalla  , on avoin kuula   avoin väli:

 

Vastaavasti suljettu kuula   on suljettu väli:

 

Kiekko ja kuulaMuokkaa

Varustetaan avaruus   metriikalla  . Jos  , niin avoin kuula   on reunaton kiekko:

 

Vastaavasti suljettu kuula   on kiekko:

 

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula  . Jos  , niin suljettu kuula   on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

 

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros.

 -metriikan kuulaMuokkaa

Olkoon  mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

 

Tällöin

 [1]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e f g h Väisälä, Jussi: Topologia I, s. 22−24. 3. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-204-7.