Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja , jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä , jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.
Suljettu kuula
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
normiavaruuksissa , kun normina käytetään euklidista normia Jos
(
X
,
d
)
{\textstyle (X,d)}
a
∈
X
{\textstyle \mathbf {a} \in X}
r
>
0
{\textstyle r>0}
B
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
a
)
<
r
}
{\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r\right\}}
on avoin kuula , jonka keskipiste on
a
{\textstyle \mathbf {a} }
säde
r
{\textstyle r}
B
¯
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
a
)
≤
r
}
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)\leq r\right\}}
on suljettu kuula , jonka keskipiste on
a
{\textstyle \mathbf {a} }
r
{\textstyle r}
[ 1]
S
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
a
)
=
r
}
{\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)=r\right\}}
joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa
B
(
a
,
r
)
{\textstyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}
a
{\textstyle \mathbf {a} }
kuulaympäristöksi .[ 1]
Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:
B
¯
(
a
,
r
)
=
B
(
a
,
r
)
∪
S
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=B\left(\mathbf {a} ,r\right)\cup S\left(\mathbf {a} ,r\right)}
[ 1]
Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:
B
(
a
,
r
)
=
B
¯
(
a
,
r
)
∖
S
(
a
,
r
)
{\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus S\left(\mathbf {a} ,r\right)}
[ 1]
Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:
S
(
a
,
r
)
=
B
¯
(
a
,
r
)
∖
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus B\left(\mathbf {a} ,r\right)}
[ 1]
Metriikan määritelmästä johtuen
d
(
a
,
a
)
=
0
{\textstyle d\left(\mathbf {a} ,\mathbf {a} \right)=0}
a
∈
B
(
a
,
r
)
⊂
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle \mathbf {a} \in B\left(\mathbf {a} ,r\right)\subset {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
[ 1]
Metrisen avaruuden
(
X
,
d
)
{\textstyle (X,d)}
A
⊂
X
{\textstyle A\subset X}
B
A
(
a
,
r
)
{\textstyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
A
{\textstyle A}
x
∈
B
A
(
a
,
r
)
{\textstyle \mathbf {x} \in B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
x
∈
A
{\textstyle \mathbf {x} \in A}
d
(
x
,
a
)
<
r
{\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r}
B
A
(
a
,
r
)
=
A
∩
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap B\left(\mathbf {a} ,r\right)}
Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:
B
¯
A
(
a
,
r
)
=
A
∩
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
[ 1]
Avaruudessa
R
{\textstyle \mathbb {R} }
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
{\textstyle d(x,y)=|x-y|}
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle B\left(a,r\right)}
väli :
B
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
R
:
|
x
−
a
|
<
r
}
=
]
a
−
r
,
a
+
r
[
{\displaystyle B\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<r\right\}=\,]a-r,a+r[}
Vastaavasti suljettu kuula
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)}
B
¯
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
R
:
|
x
−
a
|
≤
r
}
=
[
a
−
r
,
a
+
r
]
{\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|\leq r\right\}=[a-r,a+r]}
Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:
S
(
a
,
r
)
=
{
x
∈
R
:
|
x
−
a
|
=
r
}
=
{
a
−
r
,
a
+
r
}
{\displaystyle S(a,r)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|=r\right\}=\left\{a-r,a+r\right\}}
Varustetaan avaruus
R
n
{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}
d
(
x
,
y
)
=
∑
k
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
{\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}}}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}
kiekko :
B
(
a
,
r
)
=
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
:
(
x
1
−
a
1
)
2
+
(
x
2
−
a
2
)
2
<
r
2
}
{\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}<r^{2}\right\}}
Vastaavasti suljettu kuula
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
B
¯
(
a
,
r
)
=
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
:
(
x
1
−
a
1
)
2
+
(
x
2
−
a
2
)
2
≤
r
2
}
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}\leq r^{2}\right\}}
Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko , jonka reunakäyrä on yksikköympyrä , on suljettu kuula
B
¯
(
0
,
1
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(0,1\right)}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
B
¯
(
a
,
r
)
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}
kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):
B
¯
(
a
,
r
)
=
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
3
:
(
x
1
−
a
1
)
2
+
(
x
2
−
a
2
)
2
+
(
x
3
−
a
3
)
2
≤
r
2
}
{\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}\leq r^{2}\right\}}
Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo
S
(
0
,
1
)
{\displaystyle S(0,1)}
Olkoon
X
{\displaystyle X}
d
(
x
,
y
)
=
{
0
,
jos
x
=
y
1
,
jos
x
≠
y
{\displaystyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\begin{cases}0,&{\text{jos}}~\mathbf {x} =\mathbf {y} \\1,&{\text{jos}}~\mathbf {x} \neq \mathbf {y} \end{cases}}}
Tällöin
B
(
a
,
r
)
=
{
{
a
}
,
jos
r
≤
1
X
,
jos
r
>
1
{\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\begin{cases}\{\mathbf {a} \},&{\text{jos}}~r\leq 1\\X,&{\text{jos}}~r>1\end{cases}}}
[ 1]
![{\displaystyle B\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<r\right\}=\,]a-r,a+r[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dc68482b86e981a5a96bdd4e316755a83174d6)
![{\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|\leq r\right\}=[a-r,a+r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29d2df3cae851a91ee3112f0bdb35e9c96aa64)
