Syklinen monikulmio

Syklinen monikulmio eli ympyrän sisään piirretty monikumio on geometriassa monikulmio, jonka kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Tällöin voidaan sanoa, että kärkipisteet ovat konsykliset ja että monikulmio on syklinen.

Syklinen kahdeksankulmio, joka on konkaavi monikulmio.

Konsyklisistä pisteistä voidaan helposti piirtää ympyrän keskipisteen paikka.

Syklinen kuusikulmio, joka on kompleksinen.

Ympyrää, jonka sisään on piirretty monikulmio, voidaan kutsua ulkoympyräksi eli monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi. Monikulmion sivuja kutsutaan silloin myös jänteiksi. Kärkien välille piirrettyjä janoja sanotaan monikulmion lävistäjiksi.

Ominaisuuksia

• Kahden monikulmion kärjen välille voidaan piirtää keskinormaali ja se kulkee aina ulkoympyrän keskipisteen kautta.
• Syklisen monikulmion ulkoympyrän säde ja ympyrän yhtälöt voidaan laskea vain erityisissä tapauksissa sivujen tai lävistäjien pituuksien avulla. Helposti se onnistuu kolmioilla ja nelikulmioilla, mutta myös säännöllisillä monikulmioilla.
• Jos annetusta janoista voidaan muodostaa monikulmio, on sen pinta-ala suurin silloin, kun sen kärkipisteet ovat konsykliset.
• Syklisten nelikulmioiden sivujen ja lävistäjien pituudet toteuttavat Ptolemaioksen lauseen ja kuusikulmion vastaavasti Fuhrmannin lauseen.

Esimerkkejä

• Kolmiot ovat kaikki syklisiä, sillä kolmion ympäri voidaan aina piirtää ympyrä. Muissa monikulmioissa syklisyys on erikoistapaus.
• Nelikulmioista ainakin neliöt, suorakulmiot ja tasakylkiset puolisuunnikkaat ovat syklisiä. Syklisillä nelikulmioilla on eräitä erityisiä ominaisuuksia.
• Säännölliset monikulmiot, kuten esimerkiksi tasasivuinen kolmio, neliö, säännöllinen viisikulmio ja säännöllinen kuusikulmio, ovat kaikki syklisiä.

• 
  Kaikki kolmiot ovat syklisiä.
• 
  Neliön sisällekin voidaan piirtää ympyrä.
• 
  Suorakulmion lävistäjä on ympyrän halkaisija.
• 
  Säännöllisiä monikulmioita.

Historia

Vaikka syklisten monikulmioiden idea on tunnettu jo pitkään, eivät matemaatikot ole saaneet niihin kunnollista otetta. Kolmion universaali syklisyys tunnettiin jo antiikin kreikassa ja syklisen nelikulmion ominaisuudetkin melko varhain. Silti jälkipolvet tuntevat vain kaksi syklisen monikulmion pinta-alan lauseketta: kolmiolle sen esitteli Heron ja nelikulmiolle Brahmagupta. Ongelma on osoittautunut hankalaksi, sillä moni on yrittänyt laskea ulkoympyrän säteen tai monikulmion pinta-alan, kun alkutietoina on annettu vain sivujen pituudet. Yleisesti tässä on onnistuttu vain tasasivuisissa tai tasakulmaisissa erikoistapauksissa. Nykyään käytettävät polynomien ominaisuuksia hyödyntävät menetelmät olisivat olleet muinaisille matemaatikoille liian vaativia, sillä sitä ne ovat myös nykymatemaatikoille. Möbius tarttui aiheeseen (vuonna 1828), mutta ei ratkaissut silloin ongelmaa. 1990-luvulla David Robbins käytti laajoja yhtälöryhmiä, joiden yhtälöissä oli runsaasti ratkaistavia muuttujia (viisikulmioissa 70, kuusikulmioissa 134 ja seitsemänkulmioissa 143 307 tuntematonta). Hänkään ei ratkaissut säteen tai pinta-alan lausekkeita eksplisiittisesti.

Katso myös

• Bisentrinen nelikulmio on sekä syklinen- että tangentiaalinen nelikulmio.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Maley, F. Miller & al.:On the Areas of Cyclic and Semicyclic Polygons (Arkistoitu – Internet Archive), 2004
• Fedorchuk & Pak: Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes, 2004
• Pak, Igor: The area of cyclic polygons: Recent progress on Robbins’ conjecture, 2005
• Moritsugu, Shuichi: Computing Explicit Formulae for the Radius of Cyclic Hexagons and Heptagons, 2011
• Adamchik, Victor: Hunting the pentagon or areas of cyclic polygons, Carnegie Mellon University
• Czédli, Gábor & Kunos, Ádám: On the geometric constructibility of cyclic polygons with even number of vertices^{[vanhentunut linkki]}, 2013