Säännöllinen kuusikulmio

Säännöllinen kuusikulmio eli kuusio on geometriassa säännöllinen kuusisivuinen monikulmio, jonka kaikki kulmat ja sivut ovat yhtä suuria.

Säännöllisen kuusikulmion sisäkulmat ovat 120° ja sivua vastaavat keskuskulmat 60°.

Kirjallisuudessa säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa säännöllistä konveksia kuusikulmiota. Se on yksinkertainen monikulmio, koska sillä on vain yksi sisäosa. Koska sivut ovat saman pituiset, on se tasasivuinen, ja koska kulmat ovat yhtä suuria, on se myös tasakulmainen monikulmio. Tämä tekee siitä säännöllisen monikulmion. Jokaisen säännöllisen monikulmion ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrä, jonka kehällä ovat kaikki monikulmien kärjet. Sen vuoksi sitä kutsutaan sykliseksi kuusikulmioksi. Sen sisäpuolelle voidaan piirtää ympyrä niin, että jokainen sivu sivuaa ympyrää ulkopuolelta, ja siksi sitä voidaan kutsua tangentiaaliseksi kuusikulmioksi.

Muodostaminen

Antiikin Kreikassa se piirrettiin ympyrän sisälle jakamalla ensin sen kehä kuuteen yhtä pitkään kaareen ja yhdistämällä näin saadut kaarten välipisteet janoilla. Samalla menetelmällä voitiin piirtää myös heksagrammi.

Säännöllinen kuusikulmio voi syntyä myös murtoviivasta, jossa on kuusi yhtä pitkää janaa. Kun se asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti (katso viereinen animaatio). Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja lopulta ne koskettavat toisiaan. Kosketuksessa syntyy suljettu murtoviiva, joka on muodoltaan säännöllinen kuusikulmio (kierroksia k = 1). Pienentämällä ympyrää edelleen kiertyvät murtoviivan janat toista kierrosta ympyrän ympäri ja kun ne koskettavat toisiaan toisen kerran, syntyy tasasivuinen kolmio (k = 2). Kolmioita on tällöin kaksi päällekkäin, mutta kuviota voidaan pitää myös yhtenä kuviona. Jos toinen kolmioista käännetään 60° keskipisteensä ympäri, osoittavat kolmioiden sakarat eri suuntiin ja saadaan heksagrammi. Säännöllisiä monikulmioita voidaan merkitä käyttäen Schläflin symboleja {n/k}. Säännöllinen kuusikulmio merkitään symbolilla {6} eli murtoluvulla {6/1}. Heksagrammi merkitään symbolilla {6/2}.

Ominaisuuksia

Säännöllinen kuusikulmio kulmia

Säännöllinen kuusikulmio janoja

Säännöllinen kuusikulmio tähtikuvio

Sivut ja kulmat

Vastakkaiset sivut ovat säännöllisessä kuusikulmiossa yhdensuuntaiset. Sen sisäkulmien summa on (n-2)•180° =(6-2)•180° = 720°. Koska säännöllisellä monikulmiolla kaikki kulmat ovat yhtä suuria, saadaan yksittäisen sisäkulman suuruudeksi 720° / 6 = 120°. Kutakin sivua vastaavat keskuskolmion keskuskulma on 1/6-osa täydestä kierroksesta eli 360° / 6 = 60°. Symmetriasta johtuen keskuskolmio on tasasivuinen kolmio, jonka omat sisäkulmat ovat kaikki 60° ja sen sivut ovat yhtä pitkät kuin kuusikulmion sivu a. Koska kolmion muut sivut ovat kuusikulmiota ympäröivän ympyrän säteitä, on sädekin sivun mittainen eli R = a. Kulmion ulkokulma on 60°, koska se on sisäkulman komplementtikulma. Ulkokulmien summa on siten täysikulma eli 60° × 6 = 360°.

Säännöllisen kuusikulmion sivu on yhtä pitkä kuin sen ulkoympyrän säde, toisin sanoen ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kuusikulmion sivu on ympyrän säteen pituinen.

Lävistäjät ja osakolmiot

Lävistäjiä, joita on ${\tbinom {6}{2}}-6=9$, on kahden eri pituisia. Lävistäjistä 3 voidaan kutsua halkaisijoiksi, koska ne oikaisevat kolmen sivun ohi. Loput 6 lävistäjää kulkevat vain kahden sivun yli, joten niitä voidaan tässä kutsua lyhyiksi lävistäjiksi. Lyhyemmän lävistäjän ja 6-kulmion sivun välinen kulma on 30°. Halkaisijan ja lyhyen lävistäjän välinen kulma on myös 30°. Yhdestä kärjestä piirretyt kaikki neljä lävistäjää jakavat sisäkulman neljään yhtäsuureen 30° kulmaan. Kahden halkaisijan välinen kulma on 60°. Halkaisijan ja kahden lyhyen lävistäjän välinen kulma voi olla 60° tai 90° riippuen siitä, mikä lävistäjistä kohtaa halkaisijan. Kahden lyhyen lävistäjän välinen kulma voi olla 30° ja 60° samasta syystä.

Yhdestä kärjestä piirretyt lävistäjät osittavat kulmion neljään kolmioon, jotka muodostavat kaksi yhtenevää paria. Reunimmaiset kolmiot ovat tasakylkisiä, koska niiden piiri muodostuu kahdesta sivusta ja pienemmästä lävistäjästä. Keskimmäiset kolmiot ovat suorakulmaisia kolmioita, jonka piiri muodostuu kateetteina toimivista pienemmästä lävistäjästä ja yhdestä sivusta sekä hypotenuusana toimivasta halkaisijasta.

Halkaisijan pituus voidaan laskea yhdistämällä kaksi kuusikulmion ulkoympyrän sädettä R. Lyhyempi lävistäjä voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla suorakulmaisesta kolmiosta FDC. Sen toinen kateetti on sivu a ja hypotenuusa on halkaisija 2R

$d_{halk}=2R=2a$ ja

$d_{lav}={\sqrt {4R^{2}-a^{2}}}={\sqrt {4a^{2}-a^{2}}}=a{\sqrt {3}}.$

Kun kaksi halkaisijaa leikkaa toisensa, jää niiden ja 6-kulmion sivujen väliin kaksi tasasivuista kolmiota ja kaksi 60°-120°-neljäkästä. Tasasivuisten kolmioiden ja neljäkkäiden sivujen pituudet ovat kaikki a, joten myös neljäkäs voidaan jakaa kahteen tasasivuiseen kolmioon. Itse asiassa koko säännöllinen kuusikulmio voidaan jakaa kuuteen tasasivuiseen kolmioon. Hyödyllinen havainto on, että neljäkkään pitempi lävistäjä on kuusikulmion pienempi lävistäjä. Se puolittaa neljäkkään lyhyemmän lävistäjän pisteessä G. Nämä vastaavat kuviossa janoja c ja b, jotka ovat yhtä pitkiä.

Kun halkaisija ja lyhempi lävistäjä leikkaavat toisensa, erottuu kaksi pientä suorakulmaista 30°-60°-kolmiota. Kaksi lyhyempää lävistäjää rajaavat pienen tasakylkisen 30°-30°-120°-kolmion. Samasta kärjestä lähtevät lyhyet lävistäjät muodostavat symmetrisen suorakulmaisen nelikulmion eli leijan. Kun kolmanneksi janaksi otetaan poikittainen lyhyempi lävistäjä, syntyy tasasivuinen kolmio. Jos kaikki pienemmät lävistäjät piirretään kuusikulmion sisälle, syntyy kuusisakarainen tähtimonikulmio, jonka sakarat ovat tasasivuisia kolmioita. Saman tähtimonikulmion sisäosa muodostaa säännöllisen kuusikulmion, jonka sivut ovat ${\tfrac {a}{\sqrt {3}}}$ ja pinta-ala ${\tfrac {A}{3}}$.

Eräitä pituusmittoja

$s={\tfrac {1}{2}}R={\tfrac {1}{2}}a$ (pienten lävistäjien sisäympyrä)

$t=f={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ (pienten lävistäjien leikkauspisteet)

$r={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ (sisäympyrän säde, sivujen apoteema)

$R=a=f{\sqrt {3}}$ (ulkoympyrän säde)

$d={\tfrac {1}{2}}d_{lav}={\tfrac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ (pienen lävistäjän puolikas)

$e={\tfrac {1}{6}}d_{lav}={\tfrac {1}{2}}f={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}$ (f;n puolikas)

$f={\tfrac {1}{3}}d_{lav}={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ (kahden pienemmän lävistäjän osittama pieni jana)

$b=c={\tfrac {1}{2}}a$ (halkaisijan ja pienen lävistäjän osat)

Pinta-aloja

Kulmion pinta-alat ovat

$A_{6}={\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\simeq 2{,}598076211a^{2},$ (kuusikulmio)

$A_{s}={\tfrac {3}{4}}\pi a^{2}\simeq 2{,}35619449a^{2},$ (ulkoympyrä)

$A_{u}=\pi a^{2}\simeq 3{,}141592654a^{2},$ (sisäympyrä)

$A_{p6}={\tfrac {1}{3}}A_{6}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\simeq 0{,}866025403a^{2}.$ (lävistäjien rajoittama 6-kulmio)

Sisäympyrän säde

Säännöllinen kuusikulmio syntyy murtoviivasta kiertämällä se sopivan säteisen ympyrän ympäri. Tangentiaalinen kuusikulmio.

Koska säännöllinen kuusikulmion sisälle voidaan piirtää sen sivuja sivuava sisäympyrä, on se tangentiaalinen monikulmio. Tangentiaalisille monikulmioille on teoria sisäympyrän säteen ja sisäkulmien laskemiseksi, joka esitellään kuusikulmion tapauksessa.

Pääartikkeli: Sisäympyrän säteen laskeminen

Sisäympyrän sivuamispiste jakaa sivut kahdeksi puolikkaiksi, joita voidaan kutsua tangenttijanoiksi. Merkitään kaikki tangenttijanat t_i

$a_{i}=t_{i}+t_{i+1}={\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}a$,

missä a on säännöllisen kuusikulmion sivun pituus. Säännöllisen tangentiaalisen kuusikulmion sisäympyrän säteen r_k (jota kutsutaan myös pieneksi säteeksi eli apoteemaksi ) laskemiseksi ratkaistaan sisäympyröiden säteet generoiva yhtälö (tässä yhtälössä on sivu väliaikaisesti a = 1)

$S_{1}^{6}r^{4}-S_{3}^{6}r^{2}+S_{5}^{6}=0$,

missä

$S_{1}^{6}=t_{1}+t_{2}+\dots +t_{6}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+\dots +{\tfrac {1}{2}}=6\cdot {\tfrac {1}{2}}=3$

$S_{3}^{6}=t_{1}t_{2}t_{3}+t_{1}t_{2}t_{4}+t_{1}t_{2}t_{5}+t_{1}t_{2}t_{6}$

$+t_{1}t_{3}t_{4}+t_{1}t_{3}t_{5}+t_{1}t_{3}t_{6}$

$...$

$+t_{2}t_{3}t_{4}+t_{2}t_{3}t_{5}+t_{2}t_{3}t_{6}$

$+t_{2}t_{4}t_{5}+t_{2}t_{4}t_{6}$

$...$

$+t_{3}t_{4}t_{5}+t_{3}t_{4}t_{6}+t_{3}t_{5}t_{6}+t_{4}t_{5}t_{6}$

$=({\tfrac {1}{2}})^{3}+({\tfrac {1}{2}})^{3}+({\tfrac {1}{2}})^{3}+\dots +({\tfrac {1}{2}})^{3}$

$={\tbinom {6}{3}}({\tfrac {1}{2}})^{3}=20\cdot {\tfrac {1}{2^{3}}}={\tfrac {20}{8}}={\tfrac {5}{2}}$,

$S_{5}^{6}=t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}t_{5}+t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}t_{6}+t_{1}t_{2}t_{3}t_{5}t_{6}+\dots +t_{2}t_{3}t_{4}t_{5}t_{6}$

$={\tbinom {6}{5}}({\tfrac {1}{2}})^{5}=6\cdot {\tfrac {1}{2^{5}}}={\tfrac {6}{32}}={\tfrac {3}{16}}$

Polynomista tulee tällöin

${\tbinom {6}{1}}{\tfrac {1}{2}}r^{4}-{\tbinom {6}{3}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{3}r^{2}+{\tbinom {6}{5}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{5}=0$

eli

$3r^{4}-{\tfrac {5}{2}}r^{2}+{\tfrac {3}{16}}=0,$

joka kokonaislukukertoimiseksi kerrottuna on

$48r^{4}-40r^{2}+3=0,$

ja josta saadaan säännöllisen viisikulmion (k = 1, Schläflin symbolina {6/1}, sivun pituus on taas a)) sisäympyrän säde

$r_{1}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}\approx 0{,}866025a$

tai tasasivuisen kolmion (k = 2, Schläflin symboli supistaen {6/2} = {3/1} = {3}) sisäympyrän säde

$r_{2}={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0{,}288675a.$

Myös Daavidin tähdellä on Schläflin symboli {6/2}. Murtoviivalla konstruoinnissa kolme ensimmäistä janaa muodostavat tasasivuisen kolmion ja viimeiset janan tekevät sen myös. Kolmiot ovat päällekkäin, mutta Daavidin tähdessä ne ovat kääntyneet 60° eri asentoon.

Voidaan siis ajatella, että kuusikulmioita on olemassa k_max erilaista variaatiota, koska

$k_{max}=\left\lfloor {\frac {6-1}{2}}\right\rfloor =2.$

Variaatioita kutsutaan k-tangentiaalisisiksi säännöllisiksi kuusikulmioiksi. Silloin 1-tangentiaalinen säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa säännöllistä kuusikulmiota ja 2-tangentiaalinen säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa "tasasivuista kolmiota" tai "heksagrammia". Muita kosketuksia ei enää synny, joten nämä kaksi kuviota ovat ainoat säännölliset viisikulmaiset kuviot.

Konstruktio

Animaatiossa esitellään Euklideen hänen Alkeeissaan (IV kirja, propositio 15) esittämän tavan piirtää säännöllinen kuusikulmio.

Jo antiikin Kreikan ajoista on pidetty arvossa kuvioiden piirtämistä vain viivainta ja harppia käyttämällä. Tätä piirrostapaa kutsutaan geometriseksi konstruktioksi. Säännöllisen kuusikulmion konstruktio syntyy muita säännöllisiä monikulmioita paljon helpommalla.

Mitataan aluksi kuusikulmion sivun pituus harpilla ja piirretään sen avulla merkityn pisteen O ympärille ympyrä. Merkitään ympyrän kehältä piste, josta mitataan harpin mitta säilyttäen sivun pituuden mittainen matka ja merkitään se kehälle. Uudesta kehäpisteestä mitataan seuraava mitta, ja niin edelleen, kunnes kehältä on erotettu kuusi yhtämittaista kaarta. Tällöin kuudes kaari päättyy ensimmäisen kaaren alkupisteen kohdalle. Yhdistetään nämä kehäpisteet viivaimella kuusikulmion sivuiksi.

Toisessa tavassa aloitetaan edelliseen tapaan O-keskisellä ympyrällä. Merkitystä kehäpisteestä piirretään samansäteiset ympyrän kaaret kummallekin puolelle kehäpistettä. Keskipisteen O ja kahden vierekkäisen kehäpisteen välille syntyy tasasivuinen kolmio. Syntyneiden tasasivuisten kolmioiden viereen tehdään harpilla uudet kaaret ja muodostetaan niihin uudet tasasivuiset kolmiot vielä kahdesti. Syntyneiden kolmioiden avulla voidaan muodostaa kuusikulmio ja osoittaa useita sen ominaisuuksia.

Koska kuusikulmio on helppo piirtää, käytetään sitä alkuna piirrettäessä muitakin säännöllisiä monikulmioita. Tasasivuinen kolmio saadaan yhdistämällä kuusikulmion joka toinen kehäpiste. Säännöllinen 12-kulmio syntyy kuusikulmiosta, kun jokainen sivu puolitetaan ja uudet pisteet yhdistetään kuusikulmion kärkiin.

Katso myös

• Kuusikulmio (yleinen)
• Kuusikanta eli heksagrammi
• Kuusikulmioluku

Kuusiomutteri ja kuusiokolopultti.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.
• Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197–206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Math is Fun: Hexagon
• Math Open Reference: Hexagon (6-gon)
• Clip Art ECT: Hexagons
• Math Central: Hexagon Area
• Hall of Hexagons: Hexagons in an Icosahedron