Tangentiaalinen monikulmio

Tangentiaalinen monikulmio eli ympyrän ympäri piirretty monikulmio on geometriassa monikulmio, jonka kaikki sivut sivuavat monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Ympyrää kutsutaan sen vuoksi monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi eli sisäympyräksi (engl. incircle) ja sen keskipistettä sisäympyrän keskipisteeksi. Sivuamisen vuoksi sivut ovat sisäympyrän tangentteja eli myös tangenttijanoja. Monikulmion sidonnaisuus ympyrään rajoittaa sen geometriaa ja yksinkertaistaa joitakin monikulmioille johdettuja laskukaavoja. Tunnetuimmat tangentiaaliset monikulmiot ovat säännölliset monikulmiot, joiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.

Tangentiaalisessa monikulmiossa sisäympyrän säteet ovat sivuamispisteiden normaaleja ja sisäympyrän keskipisteen ja kärken välinen jana on kulmanpuolittaja.

Tangentiaaliset monikulmiot voivat olla yksinkertaisia, jolloin sivut eivät leikkaa toisiaan, tai muita, joissa sivut leikkaavat toisiaan. Itseään leikkaavia monikulmioita, jotka voivat olla myös tangentiaalisia, ovat esimerkiksi tähtimonikulmiot tai tähdet. Yksinkertaisista monikulmioista tulevat kyseeseen vain konveksit monikulmiot.

Erityispiirteet

Tangentiaalinen monikulmio perii yleisen monikulmion kaikki ominaisuudet, mutta sisäympyrän sidonnaisuudesta seuraa joitakin erityispiirteitä:

• Sisäympyrä sivuaa kaikkia monikulmion sivuja. Ympyrän keskipisteestä piirretyt säteet ovat kohtisuorassa sivuja vastaan. Sivut ovat myös säteen r etäisyydellä keskipisteestä.
• Monikulmion kärjen viereisten sivujen sivuamispisteet sijaitsevat yhtä kaukana kärjestä. Kärkeä voi tulkita ympyrän ulkopuoliseksi pisteeksi, josta piirretään kaksi tangenttia ympyrälle. Kärjestä sivuamispisteeseen piirrettyä janaa voidaan kutsua tangenttijanaksi. Tangenttijanojen summa on vastaa kahden piirin pituutta.
• Kulma noudattaa tangenttikulman ominaisuuksia. Tätä ominaisuutta hyödynnetään erityisesti tangentiaalisia monikulmioita koskevissa todistuksissa.
• Sisäympyrän keskipisteen ja kärjen välinen jana puolittaa kyseisen kulman.

Teoria tangenttijanoilla

Tangentiaalinen teoria, merkinnät

Tangentiaalinen n-kulmainen monikulmio voidaan ajatella syntyneet murtoviivasta, jossa on n-janaa. Kun murtoviiva "kiedotaan" kerran, kaksi tai useamman kerran tietyn säteisen ympyrän ympäri, voidaan murtoviivan ensimmäinen ja viimeinen päätepiste yhdistää toisiinsa. Tällainen monikulmio sivuaa sisälle jäänyttä sisäympyrää jokaisen janan osalta. Nämä sivuamiset ovat sännönmukaisia ja laskennollisesti hallittavia. Seuraavat laskelmat on esitetty n-kulmiolle, joka kiertää r-säteistä ympyrää k kierrosta. Tarkoitus on laskea, millä säteen arvoilla ja millä muilla ehdoilla monikulmio muodostuu.

Merkinnät

Merkitään n-kulmion kärjet A₁, A₂, A₃, ..., A_n ja sivuja a₁ = A₁A₂, a₂ = A₂A₃, ..., a_n = A_nA₁ (viimeinen: paluu alkuun). Sivulla a_i oleva ympyrän sivuamispiste merkitään T_i. Sivuamispiste jakaa sivun kahteen tangentiaalijanaan ja esimerkiksi kärjestä A₁ lähtevät janat merkitään t₁ = A₁T_n = A₁T₁. Ne ovat molemmat t₁:n mittaisia, koska (kuvassa) nelikulmio A₁T₁OT_n on symmetrinen janan A₁O suhteen: kolmiot A₁T₁O ja OT_nA₁ ovat yhtenevät. Koska tilanne toistuu jokaisen kärjen A_i osalta, ovat kaikista kärjistä erkanevat molemmat tangenttijanat t_i yhtä pitkät. Merkitään vielä kärjen A_i sisäkulmaa α_i = 2 * β_i, koska jana A₁O on kulman α_i kulmanpuolittaja, sekä monikulmion sivua A_iA_i+1 vastaavaa ympyrän keskuskulmaa φ_i.

Monikulmion ehdot

Jotta ympyrän kiertävä murtoviiva muodostaisi n-kulmion, tilisi se täyttää seuraavat ehdot. Monikulmion sisäkulmat

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}=2\beta _{1}+2\beta _{2}+\dots +2\beta _{n}=2(\beta _{1}+\beta _{2}+\dots +\beta _{n})=(n-2k)\cdot 180^{\circ }$

eli

$\beta _{1}+\beta _{2}+\dots +\beta _{n}=(n-2k){\frac {180^{\circ }}{2}}$.

Ympyrän keskipisteestä lähtevät keskuskulmat

$\varphi _{1}+\varphi _{2}+\dots +\varphi _{n}=2k\cdot 180^{\circ }$.

Jokaisesta monikulmion sivuun liittyvän kolmion A_iA_i+1O kulmat toteuttavat kolmion kulmien summan

$\beta _{i}+\beta _{i+1}=180^{\circ }-\varphi _{i}$.

Kiertämällä monikulmion piiri, saadaan kulmien summa laskettua

$\sum _{k=1}^{n}(\beta _{i}+\beta _{i+1})=\sum _{k=1}^{n}(180^{\circ }-\varphi _{i})=n\cdot 180^{\circ }-\sum _{k=1}^{n}\varphi _{i}=n\cdot 180^{\circ }-2k\cdot 180^{\circ }$

eli

$\sum _{k=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2k)\cdot 180^{\circ }$,

kuten yllä jo todettiinkin.

Ratkaisun muodostaminen

Voidaan osoittaa, että jos on annettu (positiivisten) sivujen pituudet a₁, a₂, ..., a_n ja se, miten janat on jaettu tangenttijanoiksi (positiivisen pituiset) osiin t₁, t₂, ..., t_n siten, että

$t_{i}+t_{i+1}=a_{i}$,

missä niiden pituus riippuu kulmasta γ

$t_{i}=r\cot \gamma _{i}$,

silloin on olemassa ainakin yksi n-kulmio, jonka sisälle jää ympyrä edellä kuvatulla tavalla. Niitä saattaa olla vielä enemmän eli k erilaisia, jolloin lukua k rajoittaa ehto

$k\leq \left\lfloor {\tfrac {n-1}{2}}\right\rfloor .$

Niin sanotun n-kulmion sisäympyrän säteet generoivan polynomin muodostamiseksi tulee laskea tangentijanojen pituuksista sille kertoimet. Ne voidaan merkitä tunnuksilla S_jⁿ ja laskea

$S_{1}^{n}=t_{1}+t_{2}+\dots +t_{n}$, näitä termejä ${\tbinom {n}{1}}=n$ kappaletta,

$S_{2}^{n}=t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+\dots +t_{1}t_{n}+t_{2}t_{3}+t_{2}t_{4}+\dots +t_{2}t_{n}+t_{3}t_{4}+t_{3}t_{5}+\dots +t_{3}t_{n}+\dots +t_{n-1}t_{n}$, näitä termejä ${\tbinom {n}{2}}$ kappaletta,

$S_{3}^{n}=t_{1}t_{2}t_{3}+t_{1}t_{2}t_{4}+t_{1}t_{2}t_{5}+\dots +t_{1}t_{2}t_{n}$

$+t_{1}t_{3}t_{4}+t_{1}t_{3}t_{5}+t_{1}t_{3}t_{6}+\dots +t_{1}t_{3}t_{n}$

$...$

$+t_{2}t_{3}t_{4}+t_{2}t_{3}t_{5}+t_{2}t_{3}t_{6}+\dots +t_{2}t_{3}t_{n}$

$+t_{2}t_{4}t_{5}+t_{2}t_{4}t_{6}+\dots +t_{2}t_{4}t_{n}$

$...$

$+t_{n-3}t_{n-2}t_{n-1}+t_{n-3}t_{n-2}t_{n}+t_{n-3}t_{n-1}t_{n}+t_{n-2}t_{n-1}t_{n}$, näitä termejä ${\tbinom {n}{3}}$ kappaletta,

$...$

$S_{n-1}^{n}=t_{1}t_{2}t_{3}\dots t_{n-2}t_{n-1}+t_{1}t_{2}t_{3}\dots t_{n-2}t_{n}+t_{1}t_{2}t_{3}\dots t_{n-3}t_{n-1}t_{n}+\cdots +t_{2}t_{3}t_{4}\dots t_{n}$, näitä termejä ${\tbinom {n}{n-1}}=n$ kappaletta.

$S_{n}^{n}=t_{1}t_{2}t_{3}\dots t_{n}$, näitä termejä ${\tbinom {n}{n}}=1$ kappaletta.

Muodostustapa näkyy tässä, mutta todellisuudessa näistä tarvitaan vain parittomat tapaukset eli $S_{1}^{n}$, $S_{3}^{n}$, $S_{5}^{n}$, ..., $S_{n}^{n}$.

Monikulmion säteen generoiva polynomi, kun lasketaan n-kulmiota, jolla n on pariton luku, on

$S_{1}^{n}r^{n-1}-S_{3}^{n}r^{n-3}+S_{5}^{n}r^{n-5}-...+(-1)^{s}S_{n}^{n}=0$

ja kun lasketaan (n+1)-kulmiota, kun (n+1) on parillinen luku, on

$S_{1}^{n+1}r^{n-1}-S_{3}^{n+1}r^{n-3}+S_{5}^{n+1}r^{n-5}-...+(-1)^{s}S_{n}^{n+1}=0$,

missä eksponentti $s=(1+3+5+\dots +n)+1$ määrää viimeisen termin etumerkin.

n-kulmioiden säteen generoivat polynomit

Eräiden monikulmioiden säteet generoivat polynomit ovat

• Kolmio: $S_{1}^{3}r^{2}-S_{3}^{3}=0$
• Nelikulmio: $S_{1}^{4}r^{2}-S_{3}^{4}=0$
• Viisikulmio: $S_{1}^{5}r^{4}-S_{3}^{5}r^{2}+S_{5}^{5}=0$
• Kuusikulmio: $S_{1}^{6}r^{4}-S_{3}^{6}r^{2}+S_{5}^{6}=0$
• Seitsemänkulmio: $S_{1}^{7}r^{6}-S_{3}^{7}r^{4}+S_{5}^{7}r^{2}-S_{7}^{7}=0$
• Kahdeksankulmio: $S_{1}^{8}r^{6}-S_{3}^{8}r^{4}+S_{5}^{8}r^{2}-S_{7}^{8}=0$
• Yhdeksänkulmio: $S_{1}^{9}r^{8}-S_{3}^{9}r^{6}+S_{5}^{9}r^{4}-S_{7}^{9}r^{2}+S_{9}^{9}=0$
• Kymmenkulmio: $S_{1}^{10}r^{8}-S_{3}^{10}r^{6}+S_{5}^{10}r^{4}-S_{7}^{10}r^{2}+S_{9}^{10}=0$

Näiden säteiden positiiviset ratkaisut ovat ne tapaukset, joilla n-kulmiolla voi kiertää ympyrän muodostaen monikulmion. Ratkaisuja voi merkitä r₁, r₂, r₃, ..., r_m, missä ratkaisujen lukumäärä saadaan lausekkeesta

$m=\left\lfloor {\tfrac {n-1}{2}}\right\rfloor$

Esimerkkejä

Kolmio

Kolmiot ovat aina tangentiaalisia, koska jokaisen kolmion sisälle voidaan piirtää ympyrä. Kolmiossa sisäympyrän sivuamispisteet jakavat sivut kahteen eripituiseen tangenttijanaan. Tangenttijana, joka lähteen kärjestä A on pituudeltaan s - a, koska kärjen vastainen sivu on pituudeltaan a (s on puolipiiri). Muiden tangenttijanojen pituudet ovat vastaavan suuruisia.

Sisäympyrän säde on $r={\frac {A}{p}}={\frac {A}{2s}}={\frac {A}{a+b+c}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Nelikulmio

Tangentiaalisia nelikulmioita ovat vain osa nelikulmioista. Riittävä ehto tangentiaalisuudelle on, että nelikulmion vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet sen piiristä (s on puolipiiri) eli

$s=a+c=b+d$.

Tangentiaalisia nelikulmioita ovat esimerkiksi neliöt, neljäkkäät ja tasakylkiset puolisuunnikkaat.

Yleisen tangentiaalisen nelikulmion sisäympyrän säde on

$r={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {\alpha +\gamma }{2}}$

$={\frac {A}{p}}={\frac {A}{2s}}={\frac {A}{a+b+c+d}}={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}},$

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Kuusikulmio

Tangentiaalisen kuusikulmion kolme lävistäjää leikkaavat Brianchonin lauseen mukaan toisensa yhteisessä pisteessä.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.9.2013).
• Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste) kotisivut. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 29.9.2013.
• Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197-206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Radić, Mirko: Some relations concerning k-chordal and k-tangential polygons
• Radić, Mirko & Pogány, Tibor K.: Algebraic Equations Connected with Tangential Polygons and Their Solvability by Radicals
• Math Open Reference: Incircle of a Polygon
• http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/wegner/weg3.htm
• Ara, Kalaimaran: AN INNOVATIVE ANALYSIS TO DEVELOP NEW THEOREMS ON IRREGULAR POLYGON (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://www.smpmaths.org.uk/F2ch13angles.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)