Kommutoiva rengas
Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat[1]. Jos on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille pätee .
Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):
Esimerkkejä kommutoivista renkaista
muokkaa- Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
- Jäännösluokkarengas on kommutoiva kaikilla , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään , missä . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös .
Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista
muokkaa- Reaalisten -matriisien rengas ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi
ja .
Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!
Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan
muokkaaOlkoon kommutoiva rengas. Merkitään renkaan yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) :llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) :llä. Tällöin
- Jos kaikilla ehdosta seuraa, että tai , niin on kokonaisalue.
- Jos kaikilla yhtälöllä on ratkaisu , niin on kunta.
Jos on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. on kokonaisalue, muttei kunta).
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- ↑ Parkkonen, Jouni: Algebra 2014 (s. 54) Jyväskylän yliopisto. Viitattu 13.1.2017.
Kirjallisuutta
muokkaa- Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Gaudeamus, 2015. ISBN 9789524953610.