Kommutoiva rengas

algebrassa rengas, jonka kertolasku on vaihdannainen
(Ohjattu sivulta Kommutatiivinen rengas)

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat[1]. Jos on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille pätee .

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengasrengaskommutatiivinen rengaskokonaisaluefaktoriaalinen kokonaisaluepääideaalialueeuklidinen aluekuntaAlgebrallisesti suljettu kunta

Esimerkkejä kommutoivista renkaista

muokkaa
  • Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
  • Jäännösluokkarengas   on kommutoiva kaikilla  , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään  , missä  . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös  .

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista

muokkaa
  • Reaalisten  -matriisien rengas   ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

  ja  .

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan

muokkaa

Olkoon   kommutoiva rengas. Merkitään renkaan   yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio)  :llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio)  :llä. Tällöin

  1. Jos kaikilla   ehdosta   seuraa, että   tai  , niin   on kokonaisalue.
  2. Jos kaikilla   yhtälöllä   on ratkaisu  , niin   on kunta.

Jos   on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim.   on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. Parkkonen, Jouni: Algebra 2014 (s. 54) Jyväskylän yliopisto. Viitattu 13.1.2017.

Kirjallisuutta

muokkaa