Kommutaattori (matematiikka)
Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy.[1] Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.
Ominaisuuksia muokkaa
Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.
Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbd584010dbe8e589be3c914a4367942eb907ef)
![{\displaystyle [xy,z]=y^{-1}[x,z]y[y,z]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08285ec86cd4095a2d9186e1809c1729d415f15b)
![{\displaystyle [x,yz]=[x,z]z^{-1}[x,y]z\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893bc6d3dc803bf864174ae78653e1af10046046)
Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä on joukon
![{\displaystyle [A,B]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901c75296f4ff45a1a51d636da80399798b9491b)
generoima aliryhmä. Aliryhmä
![{\displaystyle G'=[G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06abbfb3455c6ee396ab80237d877c822cfa769d)
on ryhmän G derivaattaryhmä.[2] Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos
Lähteet muokkaa
- Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)