Kommutaattori (matematiikka)

Tämä artikkeli kertoo matemaattisesta kommutaattorista. Laitteesta kertoo artikkeli Virrankäännin.

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy.[1] Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

OminaisuuksiaMuokkaa

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

  •  
  •  
  •  

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä   on joukon

 

generoima aliryhmä. Aliryhmä

 

on ryhmän G derivaattaryhmä.[2] Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos

 

LähteetMuokkaa

  • Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. Humphreys, s. 148
  2. Humphreys, s. 149