Antikommutatiivisuus

Binäärioperaatio on antikommutatiivinen tai antikommutoiva, jos alkioiden operointijärjestyksen vaihtaminen muuttaa operaation tuloksen käänteisalkiokseen. Tämä määritelmä on kuitenkin hieman epätarkka, sillä käänteisalkiolla voidaan tarkoittaa joko additiivista käänteisalkiota tai multiplikatiivista käänteisalkiota riippuen joukosta, jossa kyseinen operaation on määritelty. Tarkempi määritelmä käyttäen additiivista käänteisalkiota (ks. vastaluku) seuraa.

Kahden vektorin ristitulo on antikommutatiivinen.

Formaali määritelmäMuokkaa

Olkoon   epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla   ja  . Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko   varustettuna laskutoimituksella   muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos  , niin merkitään  :n käänteisalkiota  :lla (kuten vastalukua). Ts.

 ,

missä   on ryhmän   neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio   on antikommutatiivinen, jos kaikilla   pätee

 .

Antikommutatiivinen vai epäkommutatiivinen?Muokkaa

Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

 .

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

EsimerkkejäMuokkaa

  • Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos  , niin  .
  • Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena:  kaikille reaaliluvuille   ja  .

Katso myösMuokkaa