Kantaja (matematiikka)

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä tarvitaan usein kantajan käsitettä. Kantaja voidaan määritellä sekä funktiolle että mitalle.

Funktion kantaja

Topologisessa avaruudessa $X\,$ määritellyn reaali- tai kompleksiarvoisen funktion $f\,$ kantaja $\operatorname {supp} \,(f)$ on joukon $\{x\in X|f(x)\neq 0\}$ sulkeuma eli kaikkien kyseisen joukon sisältävien suljettujen joukkojen leikkausjoukko. Intuitiivisesti kantajaa voisi siis ajatella joukkona, jossa funktio "elää". Funktion kantajaa merkitään myös symbolilla $\operatorname {spt} \,(f)$ . ^[1]

Funktion kantaja on yleensä laajempi joukko kuin niiden pisteiden joukko, joissa funktio saa nollasta poikkeavia arvoja. Esimerkiksi indikaattorifunktion $\chi _{]0,1[}$ kantaja on suljettu väli [0,1], mutta indikaattorifunktio saa nollasta poikkeavia arvoja täsmälleen avoimella välillä ]0,1[.

Kantajaa voi soveltaa integraaliteoriaan. Esimerkiksi määritettäessä funktion integraalia ei tarvitse integroida koko perusjoukon X yli vaan riittää integroida pelkästään funktion kantajan yli, sillä niissä pisteissä, joissa funktio saa arvon nolla ei integraaliin kerry lisää (tai vähene) massaa. Mittateoriassa käytetään määritelmää, jossa funktion kantaja ei ole joukon sulkeuma, mikä on hyvä ottaa huomioon integroidessa. ^[2]

Funktionaalianalyysissä usein eteen tulee ns. kompaktikantajaisia funktioita. Nämä ovat funktioita, joiden kantaja sattuu olemaan lisäksi kompakti joukko. Heinen–Borelin lauseen nojalla $\mathbb {R} ^{n}$ :ssä määritelty funktio on kompaktikantajainen jos sen kantaja on äärellinen. Jatkuvat kompaktikantajaiset funktiot ovat siten $\mathbb {R} ^{n}$ :ssä aina integroituvia. ^[2] Tämä nähdään arvioimalla ensin funktion itseisarvoa tasaisesti ylhäältä jollain positiivisella vakiolla (kompaktissa joukossa jatkuva reaalifunktio on rajoitettu). Toisaalta vakion integraali yli kompaktin joukon (eli funktion kantajan) on äärellinen kun mittana on Lebesguen mitta. Tällöin koska integraali säilyttää epäyhtälön, niin myös vastaavan itseisarvon integraali (yli kantajan) on äärellinen. Nyt koska integraali yli kantajan on aina sama kuin koko perusjoukon yli integroiminen, on funktio siis määritelmän nojalla integroituva. Näiden funktioiden joukkoa merkitään usein $C_{0}(X)=\{f:X\rightarrow \mathbb {R} \ {\text{ jatkuva ja }}\operatorname {supp} \,(f)\subset X\ {\text{ kompakti }}\}$ .

Sileitä (eli jatkuvasti derivoituvia) kompaktikantajaisia funktioita kutsutaan usein testifunktioiksi ja niitä käytetään usein lauseiden todistamiseen ja operaatioiden määrittelyyn (esimerkiksi heikko derivaatta), sillä sileytensä ja kantajan äärellisyyden vuoksi ne derivoituvat ja integroituvat ilman ongelmia. $k$ -kertaa derivoituvien kompaktikantajaisten funktioiden joukkoa merkitään usein $C_{0}^{k}(X)$ ja äärettömän monta kertaa derivoituvien, eli testifunktioiden joukkoa $C_{0}^{\infty }(X)$ . ^[1]

Mitan kantaja

Vastaavasti kuten funktion tapauksessa mitan kantajaa voidaan ajatella joukkona, jonne mitta on keskittynyt. Täsmällisemmin topologisen mitta-avaruuden $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mitan $\mu$ kantaja on joukko

\operatorname {spt} \,\mu =\bigcap \{E\subset X:E{\mbox{ on suljettu}},\,\mu (X\setminus E)=0\}.

Mitan kantaja saadaan siis leikkaamalla keskenään kaikki ne avaruuden X suljetut joukot, joiden komplementit ovat nollamittaisia. Kantaja on siis eräässä mielessä pienin mahdollinen suljettu joukko, jonka komplementti on vielä nollamittainen.

Esimerkiksi Lebesguen mitan kantaja on koko avaruus $\mathbb {R} ^{n}$ ja pisteessä $a\in \mathbb {R} ^{n}$ määritellyn Diracin mitan $\delta _{a}$ kantaja on pelkkä yksiö $\{a\}.$

Mitan kantaja soveltuu integraaliteoriaan vastaavalla tavalla kuin funktion kantaja. Esimerkiksi laskettaessa $\mu$ -mittaintegraalia reaalifunktiosta f riittää vain integroida f:ää $\mu$ :n kantajan yli, sillä määritelmän mukaan kantajan komplementti on $\mu$ -nollamittainen, so. siellä ei kerry integraaliin massaa.

Mitan kantajaa käytetään erityisesti mittojen geometrisissa sovelluksissa. Katso esimerkiksi massadistribuutio.

Viitteet

↑ ^a ^b Holopainen, Ilkka: "Reaalianalyysi I" (kurssimoniste), 2012, [1]
↑ ^a ^b Royden, Halsey L.; Fitzpatrick, Patrick M.: Real Analysis, Fourth Edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-143747-0. (englanniksi)

Kirjallisuutta

Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
Royden, Halsey L.; Fitzpatrick, Patrick M.: Real Analysis, Fourth Edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-143747-0. (englanniksi)

[ReAn02-1] Holopainen, Ilkka: "Reaalianalyysi I" (kurssimoniste), 2012, [1]

[royden-fitzpatrick-2] Royden, Halsey L.; Fitzpatrick, Patrick M.: Real Analysis, Fourth Edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-143747-0. (englanniksi)

[1]

[2]