Massadistribuutio

Massadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.

Määritelmä

Olkoon $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mitta-avaruus varustettuna topologialla ja $F\subset X$. Nyt mitta $\mu$ on massadistribuutio joukossa F, jos

1. Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli $0<\mu (X)<\infty ,$
2. Mitan $\mu$ kantaja sisältyy joukkoon F, eli $\operatorname {spt} \,\mu \subset F.$

Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.

Esimerkkejä

• Olkoon $L=\{(x,0):x\in [0,1]\}$ väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus $\mu :\operatorname {Leb} \,\mathbb {R} ^{2}\rightarrow [0,+\infty ]$ kaavalla

$\mu (A)=m_{1}(A\cap L),$

missä $m_{1}$ on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko $A\cap L$ tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että $\mu$ on mitta. Lisäksi koska $\mu (\mathbb {R} ^{2})=m_{1}([0,1])=1$ ja kantaja $\operatorname {spt} \,\mu =L$, niin $\mu$ on massadistribuutio joukossa $L$.

Energia

Avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.

Määritellään, että jos $s>0$, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ja $\mu$ massadistribuutio $\mathbb {R} ^{n}$:ssä, niin massadistribuution $\mu$ s-potentiaali pisteessä $x$ on luku

$\phi _{s}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {d\mu (y)}{||x-y||^{s}}},$

missä integraali on massadistribuution $\mu$ määräämä mittaintegraali. Tapauksessa $n=3$ ja $s=1$ tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.

Vastaavasti massadistribuution $\mu$ s-energia on luku

$I_{s}(\mu )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{s}(x)d\mu (x),$

eli toisin sanoen

$I_{s}(\mu )=\iint \limits _{\mathbb {R} ^{n}\,\mathbb {R} ^{n}}{\frac {d\mu (x)d\mu (y)}{||x-y||^{s}}}.$

Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ ja on olemassa massadistribuutio $\mu$ joukossa F siten, että $I_{s}(\mu )<\infty$, niin Hausdorffin mitta ${\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty$ ja dimensio $\operatorname {dim} _{\mathcal {H}}\,F\geq s.$