Massadistribuutio

Massadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   mitta-avaruus varustettuna topologialla ja  . Nyt mitta   on massadistribuutio joukossa F, jos

  1. Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli  
  2. Mitan   kantaja sisältyy joukkoon F, eli  

Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.

EsimerkkejäMuokkaa

  • Olkoon   väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus   kaavalla
 

missä   on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko   tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että   on mitta. Lisäksi koska   ja kantaja  , niin   on massadistribuutio joukossa  .

EnergiaMuokkaa

Avaruudessa   massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.

Määritellään, että jos  ,   ja   massadistribuutio  :ssä, niin massadistribuution   s-potentiaali pisteessä   on luku

 

missä integraali on massadistribuution   määräämä mittaintegraali. Tapauksessa   ja   tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.

Vastaavasti massadistribuution   s-energia on luku

 

eli toisin sanoen

 

Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos   ja on olemassa massadistribuutio   joukossa F siten, että  , niin Hausdorffin mitta   ja dimensio