Antiprisma

Uniformisten antiprismojen joukko
Kuusikulmainen antiprisma
Tyyppi uniforminen monitahokas
Tahkoja 2 n-kulmiota, 2n kolmiota
Särmiä 4n
Kärkiä 2n
Conwayn monitahokasmerkintä An
Kärkikuvio 3.3.3.n
Schläflin symboli { }⊗{n}[1]
s{2,2n}
sr{2,n}
Coxeterin diagrammitCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel n.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.png
Symmetriaryhmä Dnd, [2+,2n], (2*n), kertaluku 4n
Rotaatioryhmä Dn, [2,n]+, (22n), kertaluku 2n
Duaalimonitahokas Trapetsoedri
Ominaisuudet kupera, semiregulaarinen, kärkitransitiivinen
Verkko Generalized antiprisim net.svg

Antiprisma on geometriassa monitahokas, jonka muodostaa kaksi keskenään yhtenevää, yhden­suuntaisille tasoille asetettua monikulmiota, joita sanotaan antiprisman pohjiksi ja joita yhdistää toisiinsa vuorotteleva nauha kolmioita. Jos pohjat ovat n-kulmioita, sanotaan antiprismaa n-sivuiseksi antiprismaksi.

Antiprismat ovat prismatoidien alaluokka, ja ne voidaan myös katsoa surkastuneiksi erikois­tapaukseksi pullistetuista moni­tahokkaista.

Antiprismat muistuttavat muutoin särmiöitä, paitsi että niiden pohjia on kierretty toistensa suhteen ja että niiden sivutahkot eivät ole suunnikkaita vaan kolmioita.

Jos pohja on säännöllinen n-kulmio, erityisen huomattava on antiprisma, jonka pohjia on kierretty toisiinsa kulman 180°/n verran. Vielä säännöllisempi antiprisma saadaan, jos pohjien keskipisteet toisiinsa yhdistävä jana on kohtisuorassa pohjatasoihin nähden, jolloin kyseessä on suora antiprisma. Sillä on tahkoina kaksi n-kulmiota, joita yhdistää 2n tasakylkistä kolmiota.

Uniformiset antiprismatMuokkaa

Antiprismaa sanotaan uniformiseksi, jos sen kaikki tahkot ovat säännöllisiä monikulmioita.[2] Jos sen pohjat ovat säännöllisiä n'-kulmioita, muina tahkoina sillä on 2n tasasivuista kolmiota. Uniformiset antiprismat muodostavat äärettömän sarjan uniformisia monitahokkaita, samoin kuin uniformiset särmiötkin.

Tapauksessa n = 2 vastaava särmiö on surkastunut, mutta antiprismaksi saadaan erikoistapauksena, kaksikulmaisena antiprismana, säännöllinen tetraedri.[3] Tapauksessa n = 3 saadaan kolmikulmaiseksi antiprismaksi säännöllinen oktaedri.[3]

Antiprismojen duaalikappaleetMuokkaa

Antiprismojen duaalikappaleita ovat trapetsoedrit.[3] Niitä tutki tiettävästi ensimmäisenä Johannes Kepler, joka myös antoi niille nimen, joskin on mahdollista, että jo Arkhimedes tunsi ne, sillä niiden kärjet toteuttavat samat ehdot kuin Arkhimedeen kappaleet.

Schlegelin diagrammitMuokkaa

 
A3
 
A4
 
A5
 
A6
 
A7
 
A8

Karteesiset koordinaatitMuokkaa

Jos suoran n-kulmaisen antiprisman sivutahkot ovat tasakylkisiä kolmioita, sen kärkien karteesiset koordinaatit ovat:

 

missä k saa kaikki kokonaislukuarvot välilt 0...2n - 1. Jos sivutahkot ovat tasasivuisia kolmiota, on

 

Pinta-ala ja tilavuusMuokkaa

Olkoon a uniformisen antiprisman sirämän pituus. Silloin kappaleen tilavuus on

 [3],

ja sen tahkojen yhteenlaskettu pinta-ala on

 [3]

Antiprismoista johdettuja monitahokkaitaMuokkaa

On olemassa ääretön joukko typistettyjä antiprismoja, muun muassa vähemmän symmetrinen muoto typistetystä oktaedrista (typistetty kolmikulmainen antiprisma). Ne voidaan alternoida niin, että saadaan pullistettuja antiprismoja. Niistä kaksi kuuluu Johnsonin kappaleisiin, ja typistetty kolmikulmainen antiprisma on vähemmän symmetrinen muoto säännöllisestä ikosaedrista.

Antiprismoja
        ...
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,2n}
Typistettyjä antiprismoja
        ...
ts{2,4} typistetty oktaedri
ts{2,6}
ts{2,8} ts{2,10} ts{2,2n}
Pullistettuja antiprismoja
Pullistettu disfenoidi
J84
Säännöllinen ikosaedri Pullistettu antiprisma
J85
Epäsäännölliset...
        ...
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10} {2,2n}

SymmetriaMuokkaa

Sellaisen suoran n-kulmaisen antiprisman symmetriaryhmä, jonka pohja on säännöllinen monikulmio ja sivutahkoina tasakylkiset kolmiot, on Dnd kertalukua 4n. Poikkeuksena ovat tetraedri, jolla on laajempi symmetriaryhmä Td kertalukua 24, johon sisältyy aliryhminä kolme versiota ryhmästä D2d, sekä oktaedri, jonka symmetriaryhmä Oh on kertalukua 48 ja sisältää aliryhminään kolme versiota ryhmästä D3d.

Peilaus pisteen suhteen eli inversio kuuluu symmetriaryhmään, jos ja vain jos n on pariton.

Anriprisman rotaatioryhmä on Dn kertalukua 2n. Poikkeuksena ovat tetraedri, jolla on laajempi rotaatioryhmä T kertalukua 12 sisältäen aliryhminään kolme versiota ryhmästä D2, sekä oktaedri, jolla on laajempi rotaatioryhmä O kertalukua 24 sisältäen aliryhminään neljä versiota ryhmästä D3.

TähtiantiprismatMuokkaa

 
5/2-antiprisma
 
5/3-antiprisma
 
9/2-antiprisma
 
9/4-antiprisma
 
9/5-antiprisma
 
Kuvassa ovat kaikki tähtimäiset ja ei-tähtimäiset 3–15-sivuiset antiprismat sekä lisäksi 29-sivuinen antiprisma

Uniformisia tähtiantiprismoja nimetään niiden pohjana olevien tähtimonikulmioiden {p/q} mukaan. Niitä on kahta tyyppiä: eteneviä (engl. prograde) ja takautuvia (engl. retrograde eli leikattuja. Takautuvilla muodoilla kärkikuviot leikkaavat toisensa, ja niitä merkitään muotoa p/(p - q) olevilla murtoluvuilla murtolukujen p/q sijasta, esimerkiksi 5/3 luvun 5/2 sijasta.

Takautuvissa antiprismoissa kolmiomaiset sivutahkot, jotka yhdistävät pohjat toisiinsa, leikkaavat rotaatiosymmetria-akselin. Etenevissä antiprismoissa näin ei ole laita.

Joitakin tähtiantiprismoja, joiden pohjana on säännöllinen tähtimonikulmio, ei voida konstruoida niin, että kaikki särmät olisivat yhtä pitkät, ja näin ollen ne eivät ole uniformisia monitahokkaita. Tähtiantiprismaojen komponentit voidaan myös konstruoida, kun luvuilla p ja q on yhteisiä tekijöitä; niinpä antiprisma 10/4 on kahden 5/2 -antiprisman yhdistelmä.

Seuraavassa taulukossa on kuvattu tähtiantiprismat 12-kulmaisiin saakka sekä niiden pohjakuviot ja merkinnät.

Antiprima arkkitehtuurissaMuokkaa

 
One World Trade Center (kuvassa keskellä)

One World Trade Center New Yorkissa on pitkänomainen neliöpohjaisen antiprisman muotoinen pilvenpiirtäjä.[4]

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Antiprism

LähteetMuokkaa

  • Anthony Pugh: ”Ch 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, {{{Nimike}}}. Berkeley: University of California Press. ISBN 0-520-03056-7.

ViitteetMuokkaa

  1. Norman Johnson: ”Luku 11.3: Finite symmetry groups – Pyramids, Prisms, and Antiprims, Figure 11.3c”, Geometries and Transformations. , 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.
  2. Prisms, Antiprisms and their Duals Stella. Viitattu 30.11.2018.
  3. a b c d e Antiprism Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 30.11.2018.
  4. One World Trade Center Antiprism demonstrations.wolfram.com. Viitattu 30.11.2018.

Aiheesta muuallaMuokkaa