Avaa päävalikko

Ryhmän alkioiden ei-tyhjä osajoukko muodostaa aliryhmän, mikäli

  • kaikilla ja
  • kaikilla

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon ryhmän alkioiden osajoukko. Tällöin joukko on ryhmän aliryhmä, mikäli

  • joukon binäärinen operaatio , joka saadaan asettamalla kaikilla on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
  • pari on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot ja ovat aina ryhmän aliryhmiä. Aliryhmää kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli ja , niin aliryhmää sanotan aidoksi ja merkitään

OminaisuuksiaMuokkaa

Olkoon seuraavassa     ja  

  • Ryhmän   neutraalialkio on myös aliryhmän   neutraalialkio.
  • Alkion   käänteisalkio ryhmässä   on myös sen käänteisalkio aliryhmässä  
  • Tulo   jos ja vain jos   Vastaavasti   jos ja vain jos  
  • Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos  , niin
  jos ja vain jos   tai  
  • Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos   on mielivaltainen indeksijoukko, jolla   kaikilla  , niin tällöin leikkaus
 
  • Jos  , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän   aliryhmä, joka sisältää joukon  . Tämä aliryhmä on
  ja sitä kutsutaan joukon   generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myösMuokkaa

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.