Avaa päävalikko
Pullistettu dodekaedri kuuluu uniformisiin tähtimonitahokkaisiin.

Uniforminen monitahokas on monitahokas, jonka kaikki sivutahkot ovat säännöllisiä monikulmioita ja joka on kärkitransitiivinen, toisin sanoen se voidaan aina kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kärki voidaan kuvata mille tahansa toiselle. Tästä seuraa, että sen kaikki kärjet ovat yhtenevät.

Uniforminen monitahokas voi olla joko

Uniformisen monitahokkaan ei tarvitse olla kupera, joten monet uniformiset monitahokkaat ovat samalla tähtimonitahokkaita.

On olemassa kaksi ääretöntä uniformisten monitahokkaiden luokkaa sekä lisäksi vielä 75 näihin luokkiin kuulumatonta uniformista monitahokasta:

Lisäksi on olemassa myös joukko degeneroituja uniformisia monitahokkaita, joissa osa särmistä yhtyy toisiinsa, muun muassa yksi John Skillingin löytämä, jota sanotaan suureksi kaksoispullistetuksi dirombidodekaedriksi eli Skillingin kuvioksi.

Uniformisten monitahokkaiden duaalikappaleet ovat sivutransitiivisia eli isoedrisiä, ja niiden kärkikuviot ovat säännöllisiä monikulmioita. Ne luokitellaan usein rinnakkain uniformisten duaalikappaleidensa kanssa. Säännöllisen monitahokkaan duaalikappale on säännöllinen, kun taas Arkhimedeen kappaleiden duaalit ovat Catalanin kappaleita.

Uniformisen monitahokkaan käsite on erikoistapaus uniformisen polytoopin käsitteestä, joka soveltuu myös muotoihin korkeampi- tai alempiulotteisessa avaruudessa.

MääritelmäMuokkaa

Coxeter, Longuet-Higgins ja Miller määrittelivät vuonna 1954 uniformiset monitahokkaat kärkitransitiivisiksi monitahokkaiksi, joiden sivut ovat säännöllisiä monikulmioita. Monitahokkaan he määrittelivät sellaiseksi äärelliseksi joukoksi monikulmioita, että jokainen monikulmion sivu on tasan yhden toisenkin monikulmion sivuna, niin että millään monikulmioiden ei-tyhjällä aidolla osajoukolla ei ole samaa ominaisuutta.[1] Monikulmiolla he impilisiittisesti tarkoittivat kolmiulotteisesessa euklidisessa avaruudessa olevaa monikulmiota; niiden sallitaan olla ei-kuperia ja leikata toisensa.

Uniformisen monitahokkaan käsitettä on erinäisillä tavoilla yleistetty. Jos ei edellytetä, että sellaisen on oltava yhtenäinen, voidaan myös useamman komponentin, esimerkiksi viiden kuution yhdistelmää pitää uniformisena. Jos ei edellytetä, että monitahokkaan on oltava degeneroitumaton, saadaan myös niin sanottuja degeneroituja uniformisia monitahokkaita. Tämä edellyttää, että monitahokkaan käsite on määriteltävä yleisemmin.

Branko Grünbaum kiinnitti vuonna 1994 julkaisemassaan artikkelissa huomiota siihen, että vaikka jo Eukleides luetteli viisi säännöllistä monitahokasta ja myöhemmin muun muassa Kepler, Poinsot, Hess ja Brückner olivat eri tavoin luokitelleet monitahokkaita, kukaan heistä ei ollut esittänyt itse monitahokkaan käsitteelle täsmällistä ja yksikäsitteistä määritelmää.[2] Samassa artikkelissa hän itse esitti käsitteelle jokseenkin monimutkaisen määritelmän.[2]

McMullen ja Schulte esittivät vuonna 2003 monitahokkaan käsitteelle yleisemmän määritelmän. Heidän mukaansa monitahokas on kaksiulotteinen abstrakti polytooppi, jolla on ei-degeneroitunut kolmiulotteinen realisaatio. Tässä abstrakti polytooppi on sen sivutahkojen yhdistelmä, joka toteuttaa useita ehtoja, ja realisaatio on kuvaus sen kärkien joukosta johonkin avaruuteen, ja realisaatiota sanotaan ei-degeneroituneeksi, jos millä tahansa kahdella abstraktin polytoopin tahkolla on erilliset realisaatiot.[3]

Monitahokas voi olla degeneroitunut esimerkiksi seuraavilla tavoilla:

  • Kätketyt tahkot. Joillakin monitahokkailla osa tahkoista voi olla kätkettyjä siinä mielessä, ettei mikään niiden sisäpiste näy ulkopuolelta. Sellaisia ei yleensä pidetä uniformisina monitahokkaina.
  • Degeneroidut komponentit. Monitahokas saattaa koostua useammasta melkein toisistaan erillään olevasta komponentista, jolla kuitenkin on yksi tai useampi yhteinen särmä. Yhtenäisten särmien vuoksi monitahokas on tällöin kuitenkin topologisessa mielessä yhtenäinen.
  • Kaksinkertaiset peitteet. On olemassa ei-orientoituvia monitahokkaita, joilla on kaksinkertaisia peitteitä ja jotka täyttävät uniformisen monitahokkaan määritelmän ehdot. Näillä kaksinkertaisilla peitteillä on kaksinkertaisia tahkoja, särmiä ja kärkiä. Niitä ei yleensä lueta uniformisiin monitahokkaisiin.
  • Kaksinkertaiset tahkot. On useita monitahokkaita, joilla on Wythoffin konstruktiolla aikaansaatuja kaksinkertaisia tahkoja. Useimmat kirjottajat eivät salli kaksinkertaisia tahkoja ja poistavat ne osana konstruktiota.
  • Kaksinkertaiset särmät. Skillingin kuviolla on kaksinkertaisia särmiä, kuten degeneroituneilla uniformisilla monitahokkaillakin, mutta niiden tahkoja ei muodostaa kirjoittaa kahden uniformisen monitahokkaan yhdisteenä.

HistoriaMuokkaa

Säännölliset kuperat monitahokkaat:

Ei-säännölliset uniformiset kuperat monitahokkaat:

Säännölliset tähtimonitahokkaat:

Muut 53 ei-säännöllistä tähtimonitahokasta:

  • Jäljellä olevista 53 uniformisesta monitahokkaasta Edmund Hess löysi kaksi vuonna 1878, Albert Badoureau 36 lisää vuonna 1881. Vuonna 1881 Pitsch löysi heistä riippumatta 18 tällaista monitahokasta, joista kolme oli ennen tuntemattomiua. Kaikkiaan näistä tunnettiin sen jälkeen 41.
  • Geometrikko H.S.M. Coxeter löysi loput 12 uniformista tähtimonitahokasta yhteistyössä J. C. P. Millerin (1930–1932) kanssa, mutta ei julkaissut tutkimuksiaan. M.S. Longuet-Higgins ja H.C. Longuet-Higgins löysivät itsenäisesti niistä 11. Lesavre ja Mercier löysivät niistä viisi uudestaan vuonna 1947.
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins ja J. C. P. Miller julkaisivat vuonna 1954 luettelon tuntemistaan uniformisista monitahokkaista[1]
  • S. P. Sopov todisti vuonna 1970, että edellä mainittujen esittämä luettelo on täydellinen eli että enempää uniformisia monitahokkaita ei ole.[6]
  • Vuonna 1974, Magnus Wenninger julkaisi teoksen Polyhedron models, jossa hän luetteli kaikki 75 ei-prismaattista uniformista monitahokasta. Monilla niistä oli ennen julkaisemattomat nimet, jotka niille antoi Norman Johnson.
  • J. Skilling todisti vuonna 1975 edeltäjistään riippumatta, että luettelo oli täydellinen, ja osoitti, että jos uniformisen monitahokkaan määritelmää väljennetään siten, että särmät saavat yhtyä toisiinsa, tällaisia monitahokkaita saadaan vain yksi lisää.[7]
  • Vuonna 1987 Edmond Bonan piirsi kaikki uniformiset monitahokkaat ja niiden duaalikappaleet Turbo Pascal -ohjelmalla nimeltä Polyca. Melkein kaikki niistä näytettiin Eastbournen kongressiteatterissa, Britanniassa pidetyssä International Stereoscopic Unionin kongressissa.
  • Vuonna 1993 Zhi Har'El muodosti täydelliset kaleidoskooppiset konstruktiot uniformisille monitahokkaille ja niiden duaalikappaleille Kaleido- nimisellä tietokoneohjelmalla ja teki asiasta yhteenvedon artikkelissa Uniform Solution for Uniform Polyhedra.[8]
  • Samana vuonna 1993 R. Mäder laati tätä Kaleido-ratkaisua vastaavan ohjelman Mathematica-ohjelmistoon hieman erilaisella indeksointijärjestelmällä.[9]
  • Vuonna 2002 Peter W. Messer löysi minimaalisen joukon suljetussa muodossa ilmaistavia lausekkeita, joilla voidaan määrittää minkä tahansa uniformisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen tärkeimmät kombinatoriset ja metriset suureet, kun tunnetaan vain sen Wythoffin symboli.[10]

Kuperat uniformiset monitahokkaatMuokkaa

Wythoffin konstruktiot lähtökohtana suorakulmainen kolmio (p q 2)
Esimerkkinä kuutiosta ja oktaedrista saadut muodot

Kuperat uniformiset monitahokkaat voidaan nimetä Wythoffin konstruktio-operaatioilla sen mukaan, mikä on niiden suhde säännöllisiin monitahokkaisiin.

Yksityiskohtaisemmin kuperat uniformiset monitahokkaat luetellaan jäljempänä Wythoffin konstruktioiden mukaan kussakin symmetriaryhmässä.

Wythoffin konstruktio sisältää toistoja, jotka saadaan alemmista symmetrian muodoista. Kuutio on säännöllinen monitahokas ja samalla särmiö, jonka pohjana on neliö. Oktaedri on säännöllinen monitahokas ja samalla antiprisma, jonka tahkot ovat kolmioita. Oktaedri on samalla typistetty tetraedri. Monet monitahokkaat saadaan toistamalla eri konstruktioita, ja sen mukaisesti ne on merkitty eri väreillä.

Wythoffin konstruktio soveltuu yhtä lailla myös uniformisiin monitahokkaisiin sekä pallopinnan uniformisiin tessellaatioihin, minkä vuoksi nekin ovat seuraavissa taulukoissa mukana. Pallopinnan laatoituksiin kuuluvat myös hosoedrit ja diedrit, jotka ovat degeneroituneita monitahokkaita.

Nämä symmetriaryhmät muodostetaan peilauksilla saaduista pisteryhmistä kolmessa ulottuvuudessa, ja kutakin niistä edustaa peruskolmio (p q r), missä p > 1, q > 1, r > 1 ja 1/p + 1/q + 1/r < 1.

Loput muodot, joilla ei ole peilaussymmetriaa, konstruoidaan alternaatiolla, toisin sanoen poistamalla joka toinen kärki sellaisesta monitahokkaasta, jolla on parillinen määrä tahkoja.

Särmiöiden ja niiden diedrisen symmetrian myötä Wythoffin konstruktioilla pallopinnalla saadaan lisää kaksi säännöllisten tessellaatioiden luokkaa, joita vastaavat monitahokkaat kuitenkin ovat degeneroituneita: diedrit, joilla on vain kaksi tahkoa, ja hosoedrit, joilla on vain kaksi kärkeä. Särmiöt saadaan säännöllisistä hosoedreista typistämällä.

Jäljempänä seuraavissa taulukoissa kuperat uniformiset monitahokkaat, särmiöitä lukuun ottamatta, on merkitty järjestysnumeroilla 1–18, ja ne on lueteltu symmetriaryhmiensä mukaan järjestettyinä.

Prismaattisia muotoja on äärettömän monta, ja ne jakautuvat neljään perheeseen:

  1. hosoedrit H2... (vain pallopinnan tessellaationa)
  2. diedrit D2... (vain pallopinnan tessellaatioina)
  3. särmiöt P3... (typistettyjä hosoedreja)
  4. antiprismat A3... (pullistettujan särmiöitä)

Wythoffin konstruktio-operaatiotMuokkaa

Operaatio Symboli Coxeterin
diagrammi
Kuvaus
Alkuperäinen {p,q}
t0{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Mikä tahansa monitahokas tai laatoitus
Suoristettu (r)
(engl. rectified)
r{p,q}
t1{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.png|qCDel node.png Särmät typistetään täysin niin, että niistä jää jäljelle vain niiden keskipiste. Saadun monitahokkaan tahkoina ovat sekä alkuperäisen monitahokkaan että sen duaalikappaleen tahkojen keskiosat. Monitahokkaat nimetään kahden alkuperäisen monitahokkaan tahkojen lukumäärien mukaan: {p,q} ja {q,p}. Esimerkiksi kuboktaedri r{4,3} saadaan suoristamalla kuutiosta ja oktaedrista.
Kahdesti suoristettu (2r)
(engl. birectified)
(myös duaali
2r{p,q}
t2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png6psCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.svg
Kahdesti suoristettu (duaali) saadaan typistämällä edelleen niin, että alkuperäisen monitahokkaan tahkot kutistuvat pisteiksi. Uudet tahkot syntyvät alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympärille. Särmien lukumäärä on sama kuin alkuperäisessä monitahokkaassa, mutta ne ovat kohtisuorassa alkuperäisen monitahokkaan särmiin nähden. Kahdesti suoritettu monitahokas on sama kuin alkuperäisen monitahokkaan duaalikappale.
Typistetty (t)
(engl. truncated)
t{p,q}
t0,1{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympäriltä leikataan pala pois, ja uusi tahko täyttää syntyneen aukon. Pois leikattavan alueen suuruus voi vaihdella, mutta on vain yksi ratkaisu, jolla saadaan uniforminen typistetty monitahokas. Tämän monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivua alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, ja siinä ovat mukana myös duaalikappaleen tahkot.
Cube truncation sequence.svg
Kaksoistypistetty (2t)
(engl. bitruncated)
(myös typistetty duaali)
2t{p,q}
t1,2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.png|CDel q.pngCDel node 1.png}} Kaksoistypistystä voidaan pitää duaalin typistämisenä. Kaksoistypistetty kuutio on typistetty oktaedri.
Kantelloitu (rr)(engl. catellated)
(myös laajennettu)
rr{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Kärkien typistämisen lisäksi jokaista alkuperäistä särmää on leikattu vinoksi niin, että niiden paikalle saadaan uusia suorakulmaisia tahkoja. Uniforminen kantelloitu monitahokas on alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen puolivälissä. Kantelloidun monitahokkaan nimi muodostetaan yhdistämällä alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen nimet ja lisäämällä näin saadun nimen alkuun etuliike rombi, esimerkiksi kuutiosta ja oktaedrista saadaan rombikuboktaedri rr{4,3}.
Cube cantellation sequence.svg
Täystypistetty (tr)
(engl. Omnitruncated tai cantitruncated)
tr{p,q}
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Typistys- ja kantellointioperaation yhdistetään. Täystypistetyn monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivuja alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, kaksinkertainen määrä tahkoja alkuperäisen kappaleen duaaliin verrattuna ja uusina tahkoina neliöitä alkuperäisen monitahokkaan särmien ympärillä.
Alternaatio-operaatiot
Operaatio Symboli Coxeterin
diagrammi
Kuvaus
Pullistettu suoritettu (sr)
(engl. snub rectified)
sr{p,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.png|CDel q.pngCDel node h.png Täystypistetty monitahokas, josta joka toinen kärki on poistettu. Kaikissa alkuperäisissä tahkoissa on vain puolet alkuperäisten sivujen lukumääristä, ja neliöt surkastuvat särmiksi. Koska täystypistetyissä muodoissa on kolme tahkoa kärkeä kohti, muodostuu uusia kolmioita. Yleensä nämä alternoivat tahkojen muodot poikkeavat jonkin verran alkuperäisistä, jotta saadaan jälleen uniformiset monitahokkaat. Jälkimmäisen variaation mahdollisuus riippuu vapausasteesta.
Snubcubes in grCO.svg
Pullistettu (s)
(engl. snub)
s{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Alternoitu typistetty
kanttinen pullistettu (s2)
engl. cantic snub)
s2{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Alternoidusti kantelloitu (hrr)
engl. Alternated cantellation)
hrr{2p,2q} CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h.png}} Mahdollinen vain uniformisille tessellaatioille, jotka voidaan käsittää äärettömiksi monitahokkaiksi. Saadaan alternaatiolla operaatiosta CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Esimerkiksi CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
Puoli (h) h{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Saadaan alternaatiolla operaatiosta CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, sama kuin 9pxCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png
Kanttinen (h2) (engl. cantic) h2{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Sama kuin CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node 1.png
Puolisuoristettu (hr) (engl. half rectified) hr{2p,2q} CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Mahdollinen vain uniformisille tessellaatioille. Saadaan alternaatiolla operaatiosta CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png, sama kuin CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch 10lu.pngCDel labelq.png tai CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel iaib.pngCDel branch 01l.pngCDel labelq.png
Esimerkiksi CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png tai CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes.png
Neljännes (q) q{2p,2q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h1.png Mahdollinen vain uniformisille tessellaatioille, sama kuin CDel labelq.pngCDel branch 11.pngCDel papb-cross.pngCDel branch 10l.pngCDel label9.png
Esimerkiksi CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png}} = CDel nodes 11.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png tai CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes 10l.png

Taulukot monitahokkaista johdettuina säännöllisistä monitahokkaistaMuokkaa

Alkuperäinen Typistetty Suoristettu Kaksoistypistetty
(typ. duaali)
Kaksoissuoristettu
(duaali)
Kantelloitu Täystypistetty Pullistettu
Coxeterin diagrammi CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png
Laajennettu
Schläflin symboli
{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q} 2r{p,q} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} ht0,1,2{p,q}
Wythoffin symboli
(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Kärkikonfiguraatio pq q.2p.2p (p.q)2 p.2q.2q qp p.4.q.4 4.2p.2q 3.3.p.3.q
Tetraedrinen
(3 3 2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t1.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t2.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t02.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-33-t012.png
4.6.6
Uniform polyhedron-33-s012.svg
3.3.3.3.3
Oktaedrinen
(4 3 2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg
4.4.4
Uniform polyhedron-43-t01.svg
3.8.8
Uniform polyhedron-43-t1.svg
3.4.3.4
Uniform polyhedron-43-t12.svg
4.6.6
Uniform polyhedron-43-t2.svg
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8
Uniform polyhedron-43-s012.png
3.3.3.3.4
Ikosaedrinen
(5 3 2)
Uniform polyhedron-53-t0.png
5.5.5
Uniform polyhedron-53-t01.png
3.10.10
Uniform polyhedron-53-t1.png
3.5.3.5
Uniform polyhedron-53-t12.png
5.6.6
Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
Uniform polyhedron-53-t02.png
3.4.5.4
Uniform polyhedron-53-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-53-s012.png
3.3.3.3.5

Seuraavassa taulukossa ovat pallopinnan tessellaatiot, joilla on diedrinen symmetria:

(p 2 2) Alkuperäinen Typistetty Suoristettu Kaksoistypistetty
(typ. duaali)
Kaksoissuoristettu
(duaali)
Kantelloitu Täystypistetty Pullistettu
Coxeterin diagrammi CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Laajennettu
Schläflin symboli
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
Wythoffin symboli 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Kärkikonfiguraatio p2 2.2p.2p p.2.p.2 p.4.4 2p p.4.2.4 4.2p.4 3.3.3.p
Diedrinen
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.4
Digonal dihedron.png
2.2.2.2
Tetragonal dihedron.png
4.4.2
Digonal dihedron.png
2.2
Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism2.png
4.4.4
Spherical digonal antiprism.png
3.3.3.2
Diedrinen
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
3.3
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Trigonal dihedron.png
2.3.2.3
Spherical triangular prism.png
4.4.3
Spherical trigonal hosohedron.png
2.2.2
Spherical triangular prism.png
2.4.3.4
Spherical hexagonal prism2.png
4.4.6
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3
Diedrinen
(4 2 2)
Tetragonal dihedron.png
4.4
2.8.8 Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism.png
4.4.4
Spherical square hosohedron.png
2.2.2.2
Spherical square prism.png
2.4.4.4
Spherical octagonal prism2.png
4.4.8
Spherical square antiprism.png
3.3.3.4
Diedrinen
(5 2 2)
Pentagonal dihedron.png
5.5
2.10.10 Pentagonal dihedron.png
2.5.2.5
Spherical pentagonal prism.png
4.4.5
Spherical pentagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2
Spherical pentagonal prism.png
2.4.5.4
Spherical decagonal prism2.png
4.4.10
Spherical pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
Diedrinen
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
6.6
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Spherical hexagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2.2
Spherical hexagonal prism.png
2.4.6.4
Spherical dodecagonal prism2.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

Tetraedrisesti symmetriset monitahokkaatMuokkaa

Pallopinnan tetraedrisella symmetrialla (Td saadaan viisi uniformista monitahokasta, ja kuudes saadaan pullistusoperaatiolla.

Tetraedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta, jonka yhdessä kärjessä on kaksi peiliä, molemmissa muissa kaksi peiliä, ja sitä esittää symboli (3 3 2). Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä A2 tai [3,3], taikka Coxeterin diagrammi: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Näin saadaan 24 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan tetrakis-heksaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.pngSphere symmetry group td.png
# Nimi Graafi
A3
Graafi
A2
Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Pos. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 2
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
1 Tetraedri 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] Kahdesti suoristettu tetraedri
(Sama kuin tetraedri)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 Suoristettu tetraedri
(Sama kuin oktaedri)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}=r{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 Typistetty tetraedri 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngt0,1{3,3}=t{3,3} Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] Kaksoistypistetty tetraedri
(Sama kuin typistetty tetraedri)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 Rombitetratetraedri
(Sama kuin kuboktaedri)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}=rr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 Typistetty tetratetraedri
(Sama kuin typistetty oktaedri)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}=tr{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 Pullistettu tetratetraedri
(Sama kuin ikosaedri)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.png Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

Oktaedrisesti symmetriset monitahokkaatMuokkaa

Pallopinnan oktaedrisella symmetrialla (Oh) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta, ja toiset seitsemän saadaan poistamalla näin saaduista joka toinen kärki. Näistä 14 muodosta kuusi on samoja, jotka esiintyvät myös edellä tetraedristesti symmetristen monitahokkaiden taulukossa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (4 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä B2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Näin saadaan 48 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-dodekaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.pngSphere symmetry group oh.png
# Nimi Graafi
B3
Graafi
B2
Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(6)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.png6px
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(8)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
7 Kuutio 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] Oktaedri 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] Suoristettu kuutio
Suoristettu oktaedri
(Kuboktaedri)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 Typistetty kuutio 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}=t{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] Typistetty oktaedri 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}=t{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 Kantelloitu kuutio
Kantelloitu oktaedri
rombikuboktaedri
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}=rr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 48 24
10 Täystypistetty kuutio
täystypistetty oktaedri
typistetty kuboktaedri
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}=tr{4,3}

Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] Pullistettu oktaedri
(Sama kuin ikosaedri)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.png Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
s{3,4}=sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] Puolikuutio
(Sama kuin tetraedri)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
h{4,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
[2] Kanttinen kuutio
(Sama kuin typistetty tetraedri)
3-simplex t01 A2.svg 3-simplex t01.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
1/2 {6}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
8 18 12
[4] (Sama kuin kuboktaedri) 3-simplex t02 A2.svg 3-simplex t02.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
rr{3,3}
14 24 12
[5] (Sama kuin typistetty oktaedri) 3-simplex t012 A2.svg 3-simplex t012.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node h0.png|CDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png}}
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}
14 36 24
[9] Kanttinen pullistettu oktaedri
(sama kuin rombikuboktaedri)
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 Pullistettu kuutio
Pullistettu kuboktaedri
Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

Ikosaedrisesti symmetriset monitahokkaatMuokkaa

Pallopinnan ikosaedrisella symmetrialla (Ih) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta sekä vielä yksi lisää poistamalla joka toinen kärki. Näin saaduista kahdeksasta muodosta vain yksi on sama, joka esiintyy myös edellä tetraedrisesti ja oktaedristen monitahokkaiden taulukoissa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (5 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä G2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Näin saadaan 120 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-triakontaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.pngSphere symmetry group ih.png
# Nimi Graafi
A3
Graafi
A2
Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
12 Dodekaedri Dodecahedron A2 projection.svg Dodecahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] Ikosaedri Icosahedron A2 projection.svg Icosahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png}}
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 Suoritettu dodekaedri
Suoristettu ikosaedri
Ikosidodekaedri
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}=r{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 Typistetty dodekaedri Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.png|3CDel node.png
t0,1{5,3}=t{5,3}
Regular polygon 5.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 Typistetty ikosaedri Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png}}
t0,1{3,5}=t{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 Kantelloitu dodekaedri
Kantelloitu ikosaedri
Rombikosidodekaedri
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png}}
t0,2{5,3}=rr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 Täystypistetty dodekaedri
Täystypistetty ikosaedri
Typistetty ikosidodekaedri
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png}}
t0,1,2{5,3}=tr{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 Pullistettu dodekaedri
Pullistettu ikosidodekaedri
Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

Diedrinen symmetria, särmiöt ja antiprismatMuokkaa

Pallopinnan diedrisella symmetrialla (Dph) saadaan kaksi ääretöntä joukkoa uniformisia monitahokkaita, särmiöt ja antiprismat, sekä lisäksi kaksi ääretöntä joukkoa degeneroituja monitahokkaita, hosoedrit ja dihedrit, joita vastaavat tietyt laatoitukset eli tessellaatiot pallon pinnalla.

Diedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (p 2 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä I2(p) tai [n2], taikka Coxeterin diagrammi: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

Seuraavassa esitetään viisi ensimmäistä diedristä symmetriaa: D2 ... D6. Diedrinen symmetria Dp on kertalukua 4n ja esittää bipyramidin tahkoja. Pallopinnalla sitä vastaa päiväntasaaja pituussuunnassa sekä tasavälein n pituuspiiriä.

Diedrinen symmetria (2 2 2)Muokkaa

Diedrisellä symmetrialla D2h (2 2 2) saadaan 8 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavassa näkyvän neliöpohjaisen bipyramidin eli oktaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Octahedron.svg Sphere symmetry group d2h.png
# Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png|
[2]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
D2
H2
kaksikulmainen diedri
kaksikulmainen hosoedri
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 Typistetty kaksikulmainen diedri
(Sama kuin neliödiedri)
Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{2,2}={4,2}
Regular polygon 4.svg
[4}
2 4 4
P4
[7]
Täystypistetty kaksikulmainen diedri
(Sama kuin kuutio)
Uniform polyhedron 222-t012.png Spherical square prism2.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png}}
t0,1,2{2,2}=tr{2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
[4}
6 12 8
A2
[1]
Pullistettu kaksikulmainen diedri
sama kuin tetraedri)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4
Diedrinen symmetria (3 2 2)Muokkaa

Diedrisellä symmetrialla D3h (3 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kuusikulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png
# Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
D3 Kolmikulmainen diedri Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 Kolmikulmainen hosoedri Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 Typistetty kolmikulmainen diedri
(sama kuin kuusikulmainen diedri)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 Typistetty kolmikulmainen hosoedri
(Kolmikulmainen särmiö)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
[4}
5 9 6
P6 Täystypistetty kolmikulmainen diedri
(Kuusikulmainen särmiö)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.png6pxCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png}}
t0,1,2{2,3}=tr{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 4.svg
[4}
8 18 12
A3
[2]
Pullistettu kolmikulmainen diedri
(Sama kuin kolmikulmainen antiprisma)
(Sama kuin oktaedri)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6
P3 Kanttinen pullistettu kolmikulmainen diedri
(Kolmikulmainen särmiö)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png}}
s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6
Diedrinen symmetria (4 2 2)Muokkaa

Diedrisellä symmetrialla D4h (4 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kahdeksankulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Octagonal bipyramid.png
# Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
D4 neliödiedri Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
[4}
2 4 4
H4 neliöhosoedri Spherical square hosohedron.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 Typistetty neliödiedri
(Sama kuin kahdeksankulmainen diedri)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png|2CDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
Typistetty neliöhosoedri
(Kuutio)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png}}
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 Täystypistetty neliödiedri
(Kahdeksankulmainen särmiö)
Octagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png|2CDel node 1.png
t0,1,2{2,4}=tr{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 4.svg
[4}
10 24 16
A4 Pullistettu neliödiedri
(Neliöpohjainen antiprisma)
Square antiprism.png Spherical square antiprism.png Square antiprism vertfig.png 9pxCDel 4.png9pxCDel 2x.png9px
sr{2,4}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Kanttinen pullistettu neliödiedri
(Kuutio)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png 9pxCDel 4.png9pxCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
Pullistettu neliöpohjainen hosoedri
(Kaksikulmainen hosoedri)
(Tetraedri)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.png9pxCDel 2x.png9px
s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4
Diedrinen symmetria (5 2 2)Muokkaa

Diedrisellä symmetrialla D5h (4 2 2) saadaan 20 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kymmenkulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

Decagonal bipyramid.png
# Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
D5 Viisikulmainen diedri Pentagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 Viisikulmainen hosoedri Spherical pentagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 Typistetty viisikulmainen diedri
(Sama kuin kymmenkulmainen diedri)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 Typistetty viisikulmainen hosoedri
(Sama kuin viisikulmainen särmiö)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
[4}
7 15 10
P10 Täystypistetty viisikulmainen diedri
(Kymmenkulmainen särmiö)
Decagonal prism.png Spherical decagonal prism2.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,5}=tr{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 4.svg
[4}
12 30 20
A5 Pullistettu viisikulmainen diedri
(Viisikulmainen antiprisma)
Pentagonal antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png 9pxCDel 5.png9pxCDel 2x.png9px}}
sr{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10
P5 Kanttinen pullistettu viisikulmainen diedri
(Viisikulmainen särmiö)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png 9pxCDel 5.png9pxCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10
Diedrinen symmetria (6 2 2)Muokkaa

Diedrisellä symmetrialla D6h (4 2 2) saadaan 24 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kaksitoistakulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:


# Nimi Kuva Laatoitus Kärkikuvio Coxeterin ja Schläflin symbolit Tahkojen muodot eri positioissa Elementtien lukumäärät
Pos. 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Tahkoja Särmiä Kärkiä
D6 Kuusikulmainen diedri Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 Kuusikulmainen hosoedri Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 Typistetty kuusikulmainen diedri
(Sama kuin kaksitoistakulmainen diedri)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.png|2CDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 Typistetty kuusikulmainen hosoedri
(Sama kuin kuusikulmainen särmiö)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png}}
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
[4}
8 18 12
P12 Täystypistetty kuusikulmainen diedri
(12-kulmainen särmiö)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.png|2CDel node 1.png}}
t0,1,2{2,6}=tr{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
[4}
Regular polygon 4.svg
[4}
14 36 24
A6 Pullistettu kuusikulmainen diedri
(Kuusikulmainen antiprisma)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png 9pxCDel 6.png9pxCDel 2x.png9px
sr{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12
P3 Kanttinen kuusikulmainen diedri
(Kolmikulmainen särmiö)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Kanttinen pullistettu kuusikulmainen diedri
(Kuusikulmainen särmiö)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png 9pxCDel 6.png9pxCDel 2x.pngCDel node 1.png}}
s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
Pullistettu heksagonaalinen hosoedri
(Sama kuin triangulaarinen antiprisma)
(Sama kuin oktaedri)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 6.png9pxCDel 2x.png9px}}
s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

Uniformiset tähtimonikulmiotMuokkaa

Uniformisia tähtimonitahokkaita, jotka eivät ole särmiöitä, on kaikkiaan 57. Ne voidaan muodostaa Wythoffin konstruktiolla Schwarzin kolmioista.

Uniformisista tähtimonitahokkaista neljä on säännöllisiä (Kepler-Poinsotin kappaleet), viisi kvasisäännöllistä ja loput 48 semiregulaarisia.

Eri tutkijat ovat numeroineet uniformiset monitahokkaat eri tavoin. Seuraavissa taulukoissa sarake C# tarkoittaa Coxeterin vuonna 1954, W# Wenningerin vuonna 1974 ja K# Kaleidon vuonna 1993 käyttämää numerointia. Coxeterin numeroinnissa kuperat muodot saivat numerot 15–32, kolme prismaattista muotoa numerot 33–35 ja ei-kuperat muodot numerot 36–92. Wenninger antoi Platonin kappaleille numerot 1–5, Arkhimedeen kappaleille numerot 6–18, tähtimäisille muodoille numerot 19–66, mihin sisältyy nyös neljä säännöllistä ei-kuperaa monitahokasta, sekä loput numerot 67–119 ei-kuperille uniformisille monitahokkaille. Kaleidon numeroinnissa 80 muotoa ryhmiteltiin symmetrian mukaan: numerot 1–4 kuuluivat sellaisten prismaattisten muotojen äärettömille perheille, joilla on diedrinen symmetria, numerot 6–9 tetraedrisesti, numerot 10–26 oktaedrisesti ja numerot 46–80 ikosaedrisesti symmetrisille kappaleille. U# tarkoittaa Mathematica -teoksessa käytettyä numerointia, joka eroaa Kaleidon numeroinnista siinä, että viisi prismaattista muotoa siirrettiin viimeisiksi, jolloin ei-prismaattiset muodot saivat numerot 1–75. Sarake ”Khii” taulukoissa tarkoittaa Eulerin karakteristikaa.

Särmiöt eivät ole mukana seuraavissa taulukoissa.

Kepler–Poinsotin kappaleetMuokkaa

Nimi Kuva Wythoffin
symboli
Kärki-
kuvio
Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien-
toituva?
Tiheys Tahkojen tyypit
Suuri
dodekaedri
Great dodecahedron.png 5/2 | 2 5 Great dodecahedron vertfig.png
(5.5.5.5.5)/2
Ih C44 W021 U35 K40 12 30 12 -6 Kyllä 3 12{5}
Suuri
ikosaedri
Great icosahedron.png 5/2 | 2 3 Great icosahedron vertfig.png
(3.3.3.3.3)/2
Ih C69 W041 U53 K58 12 30 20 2 Kyllä 7 20{3}
Pieni
tähti-
dodekaedri
Small stellated dodecahedron.png 5 | 2 5/2 Small stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)5
Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 -6 Kyllä 3 12{5/2}
Suuri
tähti-
dodekaedri
Great stellated dodecahedron.png 3 | 2 5/2 Great stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)3
Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Kyllä 7 12{5/2}

Kvasisäännölliset uniformiset tähtimonitahokkaatMuokkaa

Nimi Kuva Wythoffin
symboli
Kärki-
kuvio
Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien-
toituva?
Tiheys Tahkojen tyypit
Suuri
ikosidodekaedri
Great icosidodecahedron.png 2 | 5/2 3 Great icosidodecahedron vertfig.png
(5/2.3)2
Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Kyllä 7 20{3}+12{5/2}
Dodeka-
dodekaedri
Dodecadodecahedron.png 2 | 5/2 5 Dodecadodecahedron vertfig.png
(5/2.5)2
Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 -6 Kyllä 3 12{5}+12{5/2}
Pieni
trigonaarinen
ikosidodekaedri
Small ditrigonal icosidodecahedron.png 3 | 5/2 3 Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(5/2.3)3
Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 -8 Kyllä 2 20{3}+12{5/2}
Ditrigonaalinen dodekadodekaedri Ditrigonal dodecadodecahedron.png 3 | 5/3 5 Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 Kyllä 4 12{5}+12{5/2}
Suuri
ditrigonaalinen
ikosidodekaedri
Great ditrigonal icosidodecahedron.png 3/2 | 3 5 Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(5.3.5.3.5.3)/2
Ih C61 W087 U47 K52 20 60 32 -8 Kyllä 6 20{3}+12{5}

|}

Muut uniformiset tähtimonitahokkaatMuokkaa

Nimi Kuva Wythoffin
symboli
Kärki-
kuvio
Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien-
toituva?
Tiheys Tahkojen tyypit
Oktahemioktaedri Octahemioctahedron.png 3/2 3 | 3 Octahemioctahedron vertfig.png
6.3/2.6.3
Oh C37 W068 U03 K08 12 24 12 0 Kyllä   8{3}+4{6}
Tetrahemiheksaedri Tetrahemihexahedron.png 3/2 3 | 2 Tetrahemihexahedron vertfig.svg
4.3/2.4.3
Td C36 W067 U04 K09 6 12 7 1 Ei   4{3}+3{4}
Kubohemioktaedri Cubohemioctahedron.png 4/3 4 | 3 Cubohemioctahedron vertfig.png
6.4/3.6.4
Oh C51 W078 U15 K20 12 24 10 -2 Ei   6{4}+4{6}
Pieni
rombiheksaedri
Small rhombihexahedron.png 2 4 (3/2 4/2) | Small rhombihexahedron vertfig.png
4.8.4/3.8/7
Oh C60 W086 U18 K23 24 48 18 -6 Ei   12{4}+6{8}
Pieni
kubikuboktaedri
Small cubicuboctahedron.png 3/2 4 | 4 Small cubicuboctahedron vertfig.png
8.3/2.8.4
Oh C38 W069 U13 K18 24 48 20 -4 Kyllä 2 8{3}+6{4}+6{8}
Ei-kupera suuri rombikuboktaedri Uniform great rhombicuboctahedron.png 3/2 4 | 2 Uniform great rhombicuboctahedron vertfig.png
4.3/2.4.4
Oh C59 W085 U17 K22 24 48 26 2 Kyllä 5 8{3}+(6+12){4}
Pieni dodekahemi-
dodekaedri
Small dodecahemidodecahedron.png 5/4 5 | 5 Small dodecahemidodecahedron vertfig.png
10.5/4.10.5
Ih C65 W091 U51 K56 30 60 18 -12 Ei   12{5}+6{10}
Suuri dodekahemi-
ikosaedri
Great dodecahemicosahedron.png 5/4 5 | 3 Great dodecahemicosahedron vertfig.png
6.5/4.6.5
Ih C81 W102 U65 K70 30 60 22 -8 Ei   12{5}+10{6}
Pieni ikosihemi-
dodekaedri
Small icosihemidodecahedron.png 3/2 3 | 5 Small icosihemidodecahedron vertfig.png
10.3/2.10.3
Ih C63 W089 U49 K54 30 60 26 -4 Ei   20{3}+6{10}
Pieni
dodekikosaedri
Small dodecicosahedron.png 3 5 (3/2 5/4) | Small dodecicosahedron vertfig.png
10.6.10/9.6/5
Ih C64 W090 U50 K55 60 120 32 -28 Ei   20{6}+12{10}
Pieni
rombidodekaedri
Small rhombidodecahedron.png 2 5 (3/2 5/2) | Small rhombidodecahedron vertfig.png
10.4.10/9.4/3
Ih C46 W074 U39 K44 60 120 42 -18 Ei   30{4}+12{10}
Pieni dodekikosi-
dodekaedri
Small dodecicosidodecahedron.png 3/2 5 | 5 Small dodecicosidodecahedron vertfig.png
10.3/2.10.5
Ih C42 W072 U33 K38 60 120 44 -16 Kyllä 2 20{3}+12{5}+12{10}
Rombikoksaedri Rhombicosahedron.png 2 3 (5/4 5/2) | Rhombicosahedron vertfig.png
6.4.6/5.4/3
Ih C72 W096 U56 K61 60 120 50 -10 Ei   30{4}+20{6}
Suuri
ikosikosi-
dodekaedri
Great icosicosidodecahedron.png 3/2 5 | 3 Great icosicosidodecahedron vertfig.png
6.3/2.6.5
Ih C62 W088 U48 K53 60 120 52 -8 Kyllä 6 20{3}+12{5}+20{6}
Tähtimäinen
typistetty
heksaedri
Stellated truncated hexahedron.png 2 3 | 4/3 Stellated truncated hexahedron vertfig.png
8/3.8/3.3
Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Kyllä 7 8{3}+6{8/3}
Suuri
rombiheksaedri
Great rhombihexahedron.png 2 4/3 (3/2 4/2) | Great rhombihexahedron vertfig.png
4.8/3.4/3.8/5
Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 -6 Ei   12{4}+6{8/3}
Suuri
kubikuboktaedri
Great cubicuboctahedron.png 3 4 | 4/3 Great cubicuboctahedron vertfig.png
8/3.3.8/3.4
Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 -4 Kyllä 4 8{3}+6{4}+6{8/3}
Suuri dodekahemi-
dodekaedri
Great dodecahemidodecahedron.png 5/35/2 | 5/3 Great dodecahemidodecahedron vertfig.png
10/3.5/3.10/3.5/2
Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 -12 Ei   12{5/2}+6{10/3}
Pieni dodekahemi-
ikosaedri
Small dodecahemicosahedron.png 5/35/2 | 3 Small dodecahemicosahedron vertfig.png
6.5/3.6.5/2
Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 -8 Ei   12{5/2}+10{6}
Suuri ikosihemi-
dodekaedri
Great icosihemidodecahedron.png 3/2 3 | 5/3 Great icosihemidodecahedron vertfig.png
10/3.3/2.10/3.3
Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 -4 Ei   20{3}+6{10/3}
Kubitypistetty
kuboktaedri
Cubitruncated cuboctahedron.png 4/3 3 4 | Cubitruncated cuboctahedron vertfig.png
8/3.6.8
Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 -4 Kyllä 4 8{6}+6{8}+6{8/3}
Suuri
typistetty
kuboktaedri
Great truncated cuboctahedron.png 4/3 2 3 | Great truncated cuboctahedron vertfig.png
8/3.4.6/5
Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Kyllä 1 12{4}+8{6}+6{8/3}
Typistetty
suuri
dodekaedri
Great truncated dodecahedron.png 2 5/2 | 5 Truncated great dodecahedron vertfig.png
10.10.5/2
Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 Kyllä 3 12{5/2}+12{10}
Pieni
tähtimäinen
typistetty
dodekaedri
Small stellated truncated dodecahedron.png 2 5 | 5/3 Small stellated truncated dodecahedron vertfig.png
10/3.10/3.5
Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 Kyllä 9 12{5}+12{10/3}
Suuri
tähtimäinen
typistetty
dodekaedri
Great stellated truncated dodecahedron.png 2 3 | 5/3 Great stellated truncated dodecahedron vertfig.png
10/3.10/3.3
Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Kyllä 13 20{3}+12{10/3}
Typistetty
suuri
ikosaedri
Great truncated icosahedron.png 2 5/2 | 3 Great truncated icosahedron vertfig.png
6.6.5/2
Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Kyllä 7 12{5/2}+20{6}
Suuri
dodekikosaedri
Great dodecicosahedron.png 3 5/3(3/2 5/2) | Great dodecicosahedron vertfig.png
6.10/3.6/5.10/7
Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 -28 Ei   20{6}+12{10/3}
Suuri
rombidodekaedri
Great rhombidodecahedron.png 2 5/3 (3/2 5/4) | Great rhombidodecahedron vertfig.png
4.10/3.4/3.10/7
Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 -18 Ei   30{4}+12{10/3}
Ikosidodeka-
dodekaedri
Icosidodecadodecahedron.png 5/3 5 | 3 Icosidodecadodecahedron vertfig.png
6.5/3.6.5
Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 -16 Kyllä 4 12{5}+12{5/2}+20{6}
Pieni
trigonaalinen
dodekikosi-
dodekaedri
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png 5/3 3 | 5 Small ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png
10.5/3.10.3
Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 -16 Kyllä 4 20{3}+12{;5/2}+12{10}
Suuri
trigonaalinen
dokekikosi-
dodekaedri
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png 3 5 | 5/3 Great ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png
10/3.3.10/3.5
Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 -16 Kyllä 4 20{3}+12{5}+12{10/3}
Suuri
dodekikosi-
dodekaedri
Great dodecicosidodecahedron.png 5/2 3 | 5/3 Great dodecicosidodecahedron vertfig.png
10/3.5/2.10/3.3
Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 -16 Kyllä 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Pieni
ikosikosi-
dodekaedri
Small icosicosidodecahedron.png 5/2 3 | 3 Small icosicosidodecahedron vertfig.png
6.5/2.6.3
Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 -8 Kyllä 2 20{3}+12{5/2}+20{6}
Rombodideka-
dodekaedri
Rhombidodecadodecahedron.png 5/2 5 | 2 Rhombidodecadodecahedron vertfig.png
4.5/2.4.5
Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 -6 Kyllä 3 30{4}+12{5}+12{5/2}
Suuri
rombikosi-
dodekaedri
Uniform great rhombicosidodecahedron.png 5/3 3 | 2 Uniform great rhombicosidodecahedron vertfig.png
4.5/3.4.3
Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Kyllä 13 20{3}+30{4}+12{5/2}
Ikositypistetty
dodeka-
dodekaedri
Icositruncated dodecadodecahedron.png 5/3 3 5 | Icositruncated dodecadodecahedron vertfig.png
10/3.6.10
Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 -16 Kyllä 4 20{6}+12{10}+12{10/3}
Typistetty
dodeka-
dodekaedri
Truncated dodecadodecahedron.png 5/3 2 5 | Truncated dodecadodecahedron vertfig.png
10/3.4.10/9
Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 -6 Kyllä 3 30{4}+12{10}+12{10/3}
Suuri
typistetty
ikosidodekaedri
Great truncated icosidodecahedron.png 5/3 2 3 | Great truncated icosidodecahedron vertfig.png
10/3.4.6
Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Kyllä 13 30{4}+20{6}+12{10/3}
Pullistettu
dodeka-
dodekaedri
Snub dodecadodecahedron.png | 2 5/2 5 Snub dodecadodecahedron vertfig.png
3.3.5/2.3.5
I C49 W111 U40 K45 60 150 84 -6 Kyllä 3 60{3}+12{5}+12{5/2}
Invertoitu
pullistettu
dodeka-
dodekaedri
Inverted snub dodecadodecahedron.png | 5/3 2 5 Inverted snub dodecadodecahedron vertfig.png
3.5/3.3.3.5
I C76 W114 U60 K65 60 150 84 -6 Kyllä 9 60{3}+12{5}+12{5/2}
Suuri
pullistettu
ikosidodekaedri
Great snub icosidodecahedron.png | 2 5/2 3 Great snub icosidodecahedron vertfig.png
34.5/2
I C73 W116 U57 K62 60 150 92 2 Kyllä 7 (20+60){3}+12{5/2}
Suuri
invertoitu
pullistettu
ikosidodekaedri
Great inverted snub icosidodecahedron.png | 5/3 2 3 Great inverted snub icosidodecahedron vertfig.png
34.5/3
I C88 W113 U69 K74 60 150 92 2 Kyllä 13 (20+60){3}+12{5/2}
Suuri
retropullistettu
ikosidodekaedri
Great retrosnub icosidodecahedron.png | 3/25/3 2 Great retrosnub icosidodecahedron vertfig.png
(34.5/2)/2
I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Kyllä 37 (20+60){3}+12{5/2}
Suuri
pullistettu
dodekikosi-
dodekaedri
Great snub dodecicosidodecahedron.png | 5/35/2 3 Great snub dodecicosidodecahedron vertfig.png
33.5/3.3.5/2
I C80 W115 U64 K69 60 180 104 -16 Kyllä 10 (20+60){3}+(12+12){5/2}
Pullistettu
ikosidodeka-
dodekaedri
Snub icosidodecadodecahedron.png | 5/3 3 5 Snub icosidodecadodecahedron vertfig.png
33.5.5/3
I C58 W112 U46 K51 60 180 104 -16 Kyllä 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Pieni
pullistettu
ikosikosi-
dodekaedri
Small snub icosicosidodecahedron.png | 5/2 3 3 Small snub icosicosidodecahedron vertfig.png
35.5/2
Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 -8 Kyllä 2 (40+60){3}+12{5/2}
Pieni
retropullistettu
ikosikosi-
dodekaedri
Small retrosnub icosicosidodecahedron.png | 3/23/25/2 Small retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png
(35.5/3)/2
Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 -8 Kyllä 38 (40+60){3}+12{5/2}
Suuri
dirombikokosi-
dodekaedri
Great dirhombicosidodecahedron.png | 3/25/3 3 5/2 Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png
(4.5/3.4.3.
4.5/2.4.3/2)/2
Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 -56 Ei   40{3}+60{4}+24{5/2}

Luetteloon voidaan lisätä vielä seuraava suuri kaksoispullistettu dirombododekaedri, jonka 360 särmästä 240 on pareittain päällekkäin muodostaen 120 kahden yhtyvän särmän paria. Koska sen särmät ovat tällä tavoin degeneroituneet, sitä ei aina lueta uniformisiin monitahokkaisiin kuuluvaksi. Jos nämä 120 paria lasketaan kukin yhdeksi särmäksi, jossa toisensa kohtaa neljä tahkoa, kappaleella on vain 240 särmää, ja sen Eulerin karakteristikaksi saadaan 24.

Nimi Kuva Wythoffin
symboli
Kärki-
kuvio
Symm. C# W# U# K# Kärkiä Särmiä Tahkoja Khii Orien-
toituva?
Tiheys Tahkojen tyypit
Suuri kaksoispullistettu
dirombidodekaedri
Great disnub dirhombidodecahedron.png | (3/2) 5/3 (3) 5/2 Great disnub dirhombidodecahedron vertfig.png
(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.
4.3/2.3/2.3/2.4)/2
Ih -- -- -- -- 60 360 (*) 204 -96 Ei   120{3}+60{4}+24{5/2}


Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Uniform polyhedron
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:List of uniform polyhedra

LähteetMuokkaa

  • M. Brückner: Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. Leipzig: Teubner, 1900. Teoksen verkkoversio.
  • Magnus Wenninger: Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974. ISBN 0-521-09859-9.
  • J. Skilling: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, {{{Vuosi}}}, 278. vsk, nro 1278, s. 111–135. ISSB 0080-4614. doi:10.1098/rsta.1975.0022.
  • UniformPolyhedron.html Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 20.11.2018.

ViitteetMuokkaa

  1. a b Harold Scott MacDonald Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P Miller: Uniform Polyedra. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 1954, 246. vsk, nro 916, s. 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
  2. a b Tibor Biszztriczky, Peter McMullen, Rolf Schneider ym. (toim.); Branko Grünbaum: ”Polyhedra with Hollow Faces”, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, s. 43–70. Springer. ISBN 978-94-010-4398-4.
  3. Peter McMullen, Egon Schulte: Abstract regular polytopes. Cambridge University Press Vuosi = 2002, 2002. ISBN 0-521-81496-0. doi:10.1017/CBO9780511546686.
  4. An Etruscan Dodecahedron Department of Applied Science and Technology. Viitattu 22.11.2018.
  5. Piero della Francesca's Polyhedra georgehart.com. Viitattu 22.11.2018.
  6. S. P. Sopov: A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra. Ukrainskui Geometrichskiui Sbornik, 1970, nro 8.
  7. J. Skilling: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1975, 278. vsk, nro 1278, s. 111–135. doi:10.1098/rsta.1975.0022.
  8. Z. Har'El: Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Geometriae Dedicata, 1993, nro 47, s. 57–110.
  9. The Uniform Polyhedra Mathematica. Viitattu 22.11.2018.
  10. Peter W. Messer: Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals. Discrete Comput Geom, 2002, nro 27, s. 353–375. Artikkelin verkkoversio.