Hyperbolinen sektori
Hyperbolinen sektori on karteesisen tason alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin (a, 1/a) ja ''b, 1/b) piirretyt janat sekä hyperbeli xy = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka asymptootit leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli . Hyperbolisen sanotaan olevan perusasemassaan, kun sitä rajoittavat hyperbeli xy=1 ja kun a=1 ja b > 1.
![Hyperbolinen sektori](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Hyperbolic_sector.svg/200px-Hyperbolic_sector.svg.png)
Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat hyperboliset funktiot.
Pinta-ala
muokkaaPerusasemassa olevan hyperbolisen sektorin pinta-ala on b:n luonnollinen logaritmi ln b.
Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/x välin [1, b] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, (b,0), b,1/b)} pinta-ala.[1]
Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua hyperbolista kulmaa, jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.
Hyperbolinen kolmio
muokkaaPerusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy hyperbolinen kolmio. Se on suorakulmainen kolmio, jonka yksi kärki on origossa, toinen kateetti suoralla y = x ja kolmas kärki hyperbelillä
jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen (x,y) johtava jana. Tämän kolmion kanta eli suoralla y=x olevan kateetin pituus on
ja sen korkeus
missä u on kolmioon liittyvä hyperbolinen kulma.
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välistä analogiaa käsitteli Augustus De Morgan teoksessaan Trigonometry and Double Algebra vuodelta 1849.[2] William Burnside käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä xy olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".[3]
Hyperbolinen logaritmi
muokkaa- Pääartikkeli: Luonnollinen logaritmi
Tunnetusti funktiolla f(x) = xp on algebrallinen integraalifunktio
- ,
paitsi tapauksessa p = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. Paraabelin rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo Arkhimedes 200-luvulla eKr. tutkielmassaan Paraabelin neliöimisestä (kreik. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)[4], mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, luonnollisen logaritmin, jota hän nimitti hyperboliseksi logaritmiksi, koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.[5]
Ennen kuin Leonhard Euler vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa Johdatus äärettömän analyysiin (lat. Introductio in analysim infinitorum), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset transkendenttiset funktiot kuin 10x. Euler määritteli Neperin luvun e siksi b:n arvoksi, jolla x-akselin, suorien y=1 ja y=b sekä hyperberlin y=1/x välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion ex käänteisfunktioksi.[6]
Yhteys hyperboliseen geometriaan
muokkaaKun Felix Klein vuonna 1928 kirjoitti epäeuklidista geometriaa käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla projektiiviseen geometriaan. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.[7]
Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin . Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty hyperbolinen etäisyys.[8]
Lähteet
muokkaa- Mellen W. Haskell: On the introduction of the notion of hyperbolic functions. Bulletin of the American Mathematical Society, 1895, 1. vsk, nro 6, s. 155–159. Artikkelin verkkoversio.
Viitteet
muokkaa- ↑ V. G. Ashkinuse, Isaak Yaglom: Ideas and Methods of Affine and Projective Geomerty, s. 151. Moskova: Neuvostoliiton opetusministeriö, 1962.
- ↑ Augustus De Morgan: ”Chapter VI: On the Connection of Common and Hyperbolic trigonometry”, Trigonometry and Double Algebra, s. 66-70. {{{Julkaisija}}}, 1849. Teoksen verkkoversio.
- ↑ William Burnside: Note on the addition theorem for hyperbolic functions. (Diagrammi sivulla 146) Messenger of Mathematics, 1890, nro 20, s. 145–148.
- ↑ Arkhimedes: Quadrature of the Parabola. Englanniksi kääntänyt T. L. Heath. Cambridge University Press, 1897. Teoksen verkkoversio.
- ↑ The History of Logarithms users.humboldt.edu. Arkistoitu 14.12.2018. Viitattu 22.2.2022.
- ↑ Leonhard Euler: ”Caput VI: De quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis”, Introduction in analysim infinitorum, s. 69-85. Lausanne: Marcus Michael Mousquet / Socies, 1748. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Felix Klein: Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie, s. 173. kuva 113. Berliini: Julius Springer, 1928.
- ↑ Jürgen Richter-Gebert: Perspectives on Projective Geometry, s. 385. Springer, 2011. ISBN 9783642172854.