Hyperbolinen sektori

Hyperbolinen sektori on karteesisen tason ${(x,y)}$ alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin (a, 1/a) ja ''b, 1/b) piirretyt janat sekä hyperbeli xy = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka asymptootit leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli $x^{2}-y^{2}=1$. Hyperbolisen sanotaan olevan perusasemassaan, kun sitä rajoittavat hyperbeli xy=1 ja kun a=1 ja b > 1.

Hyperbolinen sektori

Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat hyperboliset funktiot.

Pinta-ala

Hyperbolisen sektorin pinta-ala säilyy tason "puristavassa" kuvauksessa (x,y) → (ax, y/a), jossa suorakulmioiden pituudet vaakasuorassa kasvaa samassa suhteessa kuin sen leveys pystysuunnassa pienenee.

Perusasemassa olevan hyperbolisen sektorin pinta-ala on b:n luonnollinen logaritmi ln b.

Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/x välin [1, b] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, (b,0), b,1/b)} pinta-ala.

Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua hyperbolista kulmaa, jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.

Hyperbolinen kolmio

Hyperbolista kulmaa u suorakulmaisessa hyperbelissä y=1/x vastaava hyperbolinen kolmio (keltainen, suoran y=x yläpuolella oleva osa) ja hyperbolinen sektori (punainen). Tämän suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ${\sqrt {2}}$ kertaa kulman hyperbolinen kosini ja sini.

Perusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy hyperbolinen kolmio. Se on suorakulmainen kolmio, jonka yksi kärki on origossa, toinen kateetti suoralla y = x ja kolmas kärki hyperbelillä

$xy=1,\,$

jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen (x,y) johtava jana. Tämän kolmion kanta eli suoralla y=x olevan kateetin pituus on

${\sqrt {2}}\cosh u,\,$

ja sen korkeus

${\sqrt {2}}\sinh u,\,$

missä u on kolmioon liittyvä hyperbolinen kulma.

Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välistä analogiaa käsitteli Augustus De Morgan teoksessaan Trigonometry and Double Algebra vuodelta 1849. William Burnside käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä xy olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".

Hyperbolinen logaritmi

Eulerin käyttämä yksikköpinta-ala, kun b = e.

Pääartikkeli: Luonnollinen logaritmi

Tunnetusti funktiolla f(x) = x^p on algebrallinen integraalifunktio

$\int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.$,

paitsi tapauksessa p = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. Paraabelin rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo Arkhimedes 200-luvulla eKr. tutkielmassaan Paraabelin neliöimisestä (kreik. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς), mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, luonnollisen logaritmin, jota hän nimitti hyperboliseksi logaritmiksi, koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.

Ennen kuin Leonhard Euler vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa Johdatus äärettömän analyysiin (lat. Introductio in analysim infinitorum), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset transkendenttiset funktiot kuin 10^x. Euler määritteli Neperin luvun e siksi b:n arvoksi, jolla x-akselin, suorien y=1 ja y=b sekä hyperberlin y=1/x välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion e^x käänteisfunktioksi.

Yhteys hyperboliseen geometriaan

Kun Felix Klein vuonna 1928 kirjoitti epäeuklidista geometriaa käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla projektiiviseen geometriaan. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.

Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin $y={\sqrt {1+x^{2}}}$. Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty hyperbolinen etäisyys.

Lähteet

• Mellen W. Haskell: On the introduction of the notion of hyperbolic functions. Bulletin of the American Mathematical Society, 1895, 1. vsk, nro 6, s. 155–159. Artikkelin verkkoversio.