Hyperbolinen funktio

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Määritelmät

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

$\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

$\cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}}$

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

$\coth t={\frac {1}{\tanh t}}={\frac {\cosh t}{\sinh t}}$

$\operatorname {sech} \,t={\frac {1}{\cosh t}}$

$\operatorname {csch} \,t={\frac {1}{\sinh t}}$

Muunnoskaavoja

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

$\sinh \left(-x\right)=-\sinh x$

$\cosh \left(-x\right)=\cosh x$, koska $\cosh x$ on parillinen funktio.

$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\,$

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x² + y² = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

$x=\cos t$

$y=\sin t$,

voidaan yksikköhyperbelin (x² - y² = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

$x=\cosh t$

$y=\sinh t$.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

${\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,$

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

${\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,$

Funktiot kompleksialueessa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$

$e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x$

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

$\cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x$

$\sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x$

$\tanh ix=i\tan x\,$

$\cosh x=\cos ix\,$

$\sinh x=-i\sin ix\,$

$\tanh x=-i\tan ix\,$

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on $2\pi i$, hyperbolisen tangentin $\pi i$.

Katso myös

• Alkeisfunktio

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-3

Aiheesta muualla

• GonioLab (Arkistoitu – Internet Archive): Havainnollistamaittu trigometria