Ketjukäyrä

Ketjukäyrä eli ketjuviiva, köysiviiva tai katenaari (lat. catenaria) on hyperbolisen kosinin kuvaaja. Nimensä käyrä on saanut siitä, että kahden tukipisteen varaan ripustettu taipuisa ketju (lat. catena) tai köysi asettuu tämän käyrän muotoiseksi.

Ketjukäyriä parametrin a eri arvoilla

Roikkuva ketju asettuu ketjukäyrän muotoiseksi.

Yhtälö

Ketjukäyrän yhtälö on

$y=a\,\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\,\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)$,

missä $\cosh$ merkitsee hyperbolista kosinia. Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä (0,a), jossa funktiolla on minimi tai maksimi riippuen siitä, onko a positiivinen vai negatiivinen.

Yleisemmässä tapauksessa, jossa käyrän maksimi- tai minimikohta ei välttämättä sijaitse y-akselilla vaan mielivaltaisessa pisteessä ($\alpha$, $a+\beta$), yhtälö voidaan esittää muodossa

$y=a\cosh {\frac {x-\alpha }{a}}+\beta ={a \over 2}(e^{(x-\alpha )/a}+e^{-(x-\alpha )/a})+\beta$.

Kun ketjukäyrä esittää ketjun tai köyden muotoa, parametrien a, $\alpha$ ja $\beta$ arvot määräytyvät tietyistä reunaehdoista, joita tavallisimmin asettavat ketjun tai köyden pituus sekä sen kiinnityspisteiden sijainnit.

Ominaisuuksia

Koska hyperbolinen kosini on parillinen funktio, ketjukäyrä sen kuvaajana on symmetrinen y-akselin suhteen.

Ketjukäyrä muistuttaa muodoltaan paraabelia, erityisesti y-akselin läheisyydessä. Tämä johtuu siitä, että hyperbolisella kosinilla on Taylorin sarjakehitelmä:

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

Kun x on pieni, sarjakehitelmän muut paitsi kaksi ensimmäistä termiä ovat erittäin pieniä ja käyrän yhtälö voidaan pyöristää muotoon

$y=1+{\frac {x^{2}}{2}}$

tai yleisemmässä tapauksessa

$y=a+{\frac {x^{2}}{2a}}$,

minkä yhtälön kuvaaja on paraabeli. Kun x on arvoltaan kaukana nollasta, ketjukäyrä nousee kuitenkin huomattavasti nopeammin kuin tämä paraabeli.

Kaaren pituus

Ketjukäyrän kaaren pituus y-akselilta pisteeseen (x, a cosh (x/a)) on

$s=a\,\sinh \left({x \over a}\right)$,

missä funktio sinh on hyperbolinen sini.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ketjukäyrä Wikimedia Commonsissa