Pascalin simpukka

Pascalin simpukka (ransk. limaçon de Pascal) on geometriassa vierintäkäyrä, jonka muodostaa ympyrään sidotun pisteen liikerata, kun tämä ympyrä vierii ulkopuolitse toisen samansäteisen ympyrän ympäri. Se voidaan yhtäpitävästi määritellä myös ympyrään sidotun pisteen liikeradaksi, kun suurempi ympyrä vierii pienemmän ympyrän ympäri, jonka säde on puolet suuremman ympyrän säteestä ja tämä pienempi ympyrä on suuremman ympyrän sisällä. Näin ollen Pascalin silmukka kuuluu keskipisteellisten trokoidien, tarkemmin sanottuna epitrokoidien ryhmään.

Pascalin simpukan $r=2+cos(\pi -\theta )$ konstruointi, kun napakoordinaatiston origo on pisteessä (x, y)=(1/2, 0)

Nimitys limaçon johtuu ranskan kielen sanasta limaçon, joka tarkoittaa etanaa (lat. limax). Riippuen siitä, missä kohdassa käyrän generoiva piste sijaitsee, sillä voi olla sisä- tai ulkopuolisia silmukoita, mihin sen nimikin viittaa, mutta se voi olla myös sydämen muotoinen tai soikea kupera käyrä. Kardioidi on Pascalin simpukan erikoistapaus, jossa liikkuva piste on pyörivällä ympyrällä. Se on sydämen muotoinen, ja sillä on sisään työntyvä kärkipiste.

Pascalin silmukka on neljännen asteen käyrä.

Kolme Pascalin simpukkaa: kuopallinen, kärkipisteellinen (kardioidi)) ja silmukallinen. Pascalin simpukka voi olla myös umpinainen kupera käyrä, mutta sellaista ei ole kuvassa.

Historia

Simpukkakäyriä tutki ensimmäisenä matemaattisen täsmällisesti Étienne Pascal, Blaise Pascalin isä. Kuitenkin niitä oli jo aikaisemmin tarkastellut saksalainen renessanssiajan taiteilija Albrecht Dürer. Dürerin teoksessa Underweysung der Messung) ("Mittausoppi") kuvaillaan geometrisia menetelmiä niiden aikaansaamiseksi. Nimen käyrälle antoi Gilles de Roberval, joka käytti sitä esimerkkinä esittäessään, miten annetulle käyrälle piirretään tangentti.

Yhtälöt

Seuraavassa oletetaan että Pascalin simpukan generointiin käytetyn kiinteän ympyrän keskipiste on origossa ja että se kohta, jossa liikkuva piste on lähimpänä origoa, sijaitsee x-akselilla. Ellei näin ole, simpukka voidaan aina yhdensuuntaissirrolla ja kierrolla saattaa tällaiseen asentoon.

Näillä edellytyksillä Pascalin simpukan yhtälö napakoordinaateissa on

$r=b+a\cos \theta \ .$

Käyrän yhtälö karteesisissa koordinaateissa saadaan kertomalla molemmat puolet r:llä (jolloin yhtälön toteuttaa myös origo, vaikkei se yleensä ole käyrällä) ja toteamalla, että koordinaattien välillä on yhteydet $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ and $r\,\cos \theta =x$. Yhtälö saadaan tällöin muotoon:

$(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

Käyrä voidaan esittää myös parametrimuodossa:

$x={a \over 2}+b\cos t+{a \over 2}\cos 2t=(b+a\cos t)\cos t,$

$y=b\sin t+{a \over 2}\sin 2t=(b+a\cos t)\sin t.$

Kompleksitasossa tämä saa muodon

$z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.$

Jos käyrää siirretään vaakasuorassa suunnassa matkan a/2 verran, saadaan simpukan yhtälöksi keskipisteellisen trokoidin yhtälö tavanomaisessa muodossaan:

$z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}.$

Tämä yhtälö saadaan, kun käyrän keskipiste, kun se käsitetään keskipisteelliseksi trokoidiksi, on origossa.

Erikoistapauksia

Erikoistapauksessa, kun a = b, käyrän yhtälö napakoordinaateissa on

$r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\theta \over 2}$ tai

$r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\theta \over 2}$,

jolloin saatu käyrä kuuluu sinusoidaalisten spiraalien ryhmään. Kyseinen käyrä on nimeltään kardioidi.

Tapauksessa $a=2b$ yhtälön trokoidimuoto yksinkertaistuu muotoon

$z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}$,

tai napakoordinaateissa

$r=2b\cos {\theta \over 3}$

jolloin saatu käyrä kuuluu ruusukäyrien joukkoon. Tämä käyrä on samalla trisektrix, ja siitä käytetään toisinaan nimitystä simpukkatrisetrix.

Käyrän muoto

Jos $b>a$, Pascalin simpukka on muodoltaan yksinkertainen suljettu käyrä. Tässä tapauksessa kuitenkin myös origo toteuttaa käyrälle edellä karteesisissa koordinaateissa esitetyn yhtälön, jonka kuvaajalla täten on yksi erillinen piste.

Kun $b>2a$, käyrän rajoittama alue on kupera.. Kun $a<b<2a$, käyrässä on sisään työntyvä painauma, jossa sillä on kaksi käännepistettä. Kun $b=2a$, käyrän kaarevuus pisteessä $(-a,0)$ on nolla.

Kun $b$ pienenee suhteessa $a$, painauma tulee yhä syvemmäksi, kunnes tapauksessa $b=a$ tuloksena on kardioidi, jolla ei enää ole käännepisteitä vaan terävä kärki. Kun $0<b<a$, tämä kärki laajenee sisemmäksi silmukaksi ja käyrä leikkaa itsensä origossa. Kun $b$ lähestyy nollaa, tämän silmukka tulee yhä lähemmäksi käyrän ulompaa osaa, kunnes rajatapauksessa, kun $b=0$, tuloksena on ympyrä, joka kierretään kahteen kertaan.

Käyrän rajoittaman alueen pinta-ala

Pascalin silmukan $r=b+a\cos \theta$ sisään jäävän alueen pinta-ala, kun $b\geq a$, on

$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\pi$.

Kun $b<a$, tällä tavalla laskettuun pinta-alaan sisältyisi sisemmän silmukan sisään jäävän alueen pinta-ala kaksinkertaisena. Tässä tapauksessa käyrä kulkee origon kautta kulman $\theta$ arvoilla $\pi \pm \arccos {b \over a}$. Sisemmän silmukan sisään jäävän alueen pinta-ala on tällöin

$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}$

ja ulomman silmukan sisään jäävän alueen pinta-ala

$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -\arccos {b \over a})+{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}$.

Silmukoiden väliin jäävän alueen pinta-ala on

$(b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -2\arccos {b \over a})+3b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}.$

Yhteys muihin käyriin

Simpukka ympyrän pedaalikäyränä

• Olkoon P piste ja C ympyrä, jonka keskipiste ei ole P. Silloin niiden ympyröiden verhokäyrä, joiden keskpiste on C ja jotka kulkevat P:n kautta, on Pascalin silmukka.
• Ympyrän pedaalikäyrä on Pascalin simpukka. Itse asiassa sellaisen ympyrän, jonka säde on $b$ ja keskipiste $(a,0)$, pedaalikäyrällä origon suhteen on yhtälö $r=b+a\cos \theta$
• Pascalin silmukan $r=b+a\cos \theta$ inversio yksikköympyrän suhteen on $r={1 \over {b+a\cos \theta }}$. Tämä on sellaisen kartioleikkauksen yhtälö, jonka eksentrisyys on a/b ja polttopiste origissa. Täten Pascalin silmukka voitaisiin määritellä myös kartioleikkauksen inversioksi, jossa inversiokeskuksena on toinen polttopisteistä. Jos kartioleikkaus on paraabeli, inversio on kardioidi. Hyperbelin inversiona saadaan sellainen Pascalin simpukka, johon sisältyy sisempi silmukka, kun taas ellipsin inversiona on simpukka, jossa ei ole sisempää silmukkaa.
• Ympyrän konkoidi ympyrällä olevan pisteen suhteen on Pascalin simpukka.
• Karteesisen ovaalin eräs erikoistapaus on Pascalin simpukka.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pascalin simpukka Wikimedia Commonsissa