Ruusukäyrä

Ruusukäyrä eli Grandin ruusu (engl. Rose tai Rhodonea) on matematiikassa käyrä, jota voidaan pitää sinifunktion kuvaajana napakoordinaatistossa.

7-terälehtinen ruusu (k = 7)

8-terälehtinen ruusu (k=4).

Yhtälön $r=\cos k\theta$ määrittämiä ruusukäyriä vakion k=n/d eri arvoilla

Yleiskuvaus

Jokainen ruusukäyrä on yhdenmuotoinen sellaisen käyrän kanssa, jonka yhtälö napakoordinaateissa on muotoa

$\!\,r=a\cos(k\theta )$

tai vaihtoehtoisesti

$\!\,r=a\sin(k\theta )$.

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan edellisessä tapauksessa esittää yhtälöparilla :$\!\,x=a\cos(k\theta )\cos(\theta )$

$\!\,y=a\cos(k\theta )\sin(\theta )$.

Nimi ruusukäyrä johtuu siitä, että käyrä tyypillisesti muistuttaa muodoltaan ruusun teriötä. Jos k on kokonaisluku, tällä käyrän kuvaamalla ruusulla on

• 2k terälehteä, jos k on parillinen, ja
• k terälehteä, jos k on pariton.

Vakio a osoittaa terälehtien pituuden.

Kun k on parillinen, koko käyrä tulee piirretyksi tasan kerran, kun kulma θ kasvaa 0:sta 2π:hin. Kun k on pariton, tämä tapahtuu jo välillä 0:sta π:hin. Yleisemmin sama tapahtuu millä tahansa välillä, jonka pituus on 2π, kun k on parillinen, tai π, jos k on pariton.

Jos k on puoliluku (esimerkiksi 1/2, 3/2 tai 5/2), käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 4k terälehteä. Esimerkiksi: n=7, d=2, k= n/d =3,5, kun θ kasvaa 0:sta 4π:hin.

Jos k voidaan esittää muodossa n±1/6, missä n on nollasta poikkeava kokonaisluku, käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 12k terälehteä.

Jos k voidaan esittää muodossa n/3, missä n on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella, käyrä muistuttaa muodoltaan ruusua, jolla on n terälehteä, jos n on pariton, ja 2n terälehteä, jos n on parillinen.

Jos k on rationaaliluku, käyrä on suljettu, ja sillä on äärellinen pituus. Ellei k ole kokonaisluku, terälehdet saattavat olla osittain päällekkäin. Jos k on irrationaaliluku, käyrä ei ole suljettu, ja sen pituus on ääretön. Tässä tapauksessa käyrä on lisäksi tiheä, toisin sanoen se sivuuttaa yksikkökiekon jokaisen pisteen mielivaltaisen läheltä.

Koska

$\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)$

kaikilla $\theta$, käyrät, joiden yhtälöt napakoordinaateissa ovat

$\,r=\sin(k\theta )$ and $\,r=\cos(k\theta )$

ovat yhtenevät ja voidaan kuvata toisilleen π/2k radiaanin rotaatiolla.

Ruusukäyrille antoi nimen italialainen matemaatikko Guido Grandi vuosien 1723 ja 1728 välillä.

Eräs ruusukäyrän erikoistapaus on neliapilan muotoinen käyrä, jolla k = 2. Sillä on karteesisissa koordinaateissa myös yhtälö

$(x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}$

Pinta-ala

Ruusukäyrän

$r=a\cos(k\theta )\,$,

sisään jäävän alueen eli terälehtien yhteenlaskettu pinta-ala on

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$

jos k on parillinen, ja

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$

jos k on pariton positiivinen kokonaisluku.

Sama pätee ruusukäyrille, joiden yhtälö napakoordinaateissa on

$r=a\sin(k\theta )\,$

sillä tämän yhtälön kuvaaja saadaan kosinin avulla määritellystä ruusukäyrästä yksinkertaisella rotaatiolla.

Muodon riippuvuus parametrista k

Ruusukäyrän napakoordinaateissa esitetyssä yhtälössä esiintyy vakiotekijä k. Kun k on kokonaisluku, käyrä muodostaa muodoltaan kukkaa. Sillä on k terälehteä, jos k on pariton, ja 2k terälehteä, jos k on parillinen. Sen sijaan millään vakion k arvolla ei saada aikaan sellaista kukkaa, jossa terälehtien lukumäärä on parillinen mutta ei neljällä jaollinen (esimerkiksi 2, 6, 10 tai 14).

Kun d on alkuluku, on n/d supistumaton murtoluku. Kun ruusukäyrän yhtälössä oleva k on tällainen murtoluku, käyrän terälehden ovat osittain päällekkäin. Niiden terälehtien lukumäärä, joiden kanssa kukin niistä on osittain päällekkäin, on yhtä suuri kuin järjestysluku, joka ilmoittaa, kuinka mones alkuluku d on alkulukujen jonossa, kun luku 1 lasketaan mukaan (esimerkiksi kun d on 2, tämä luku on 2, ja vastaavasti alkulukuja 3, 5 ja 7 vastaavat lukumäärät 3, 4 ja 5).

Kun k on muotoa k = 1/d, missä d on parillinen, käyrä muodostaa sarjan sisäkkäisiä silmukoita, ja keskellä on kaksi pienintä silmukkaa, jotka sivuavat toisiaa origossa. Käyrä on symmetrinen x-akselin suhteen. Jos taas d on pariton, käyrä muodostaa d div 2 sisäkkäistä silmukkaa, joista pienin sivuaa origoa joko vasemmalla (kun d on muotoa d = 4n − 1) tai oikealla ((kun d on muotoa d = 4n + 1).0

Jos d ei ole alkuluku eikä n ole 1, käyrän muodostaa sarja toisensa leikkaavia silmukoita.

Jos k on irrationaaliluku, ruusukäyrällä on äärettömän monta terälehteä, ja se on tiheä yksikkökiekossa.

• Esimerkkejä hammasrattailla muodostettavista ruusukäyristä eri suhdeluvuilla
• 
  n=1, d=1, k=1
• 
  n=1, d=3, k≈0.333
• 
  n=3, d=1, k=3
• 
  n=4, d=5, k=0.8

Lähteet

• Rose Wolfram MathWorld. Viitattu 8.9.2017.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ruusukäyrä Wikimedia Commonsissa