Lp-avaruus

Matematiikassa L^p-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä.

L^p-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz.

L^p-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

Motivaatio

Eri p-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin p-normi on 1').

Yksikköympyrä (superellipsi) p = 3/2 -normilla

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset L^p-avaruudet eli L^p-normit reaaliselle vektoriavaruudelle Rⁿ. Kahden vektorin summa avaruudessa Rⁿ määritellään

$\ (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),$

ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) $\lambda$ kertominen

$\ \lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}).$

Vektorin x = (x₁, x₂, …, x_n) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

$\ \|x\|_{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)^{1/2},$

mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x L^p-normi määritellään

$\ \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$.

Näin ollen L² on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L¹ on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä

$\ \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}$,

mikä on sama kuin raja-arvo L^p-normista, kun p lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rⁿ varustettuna L^p-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus.

Kun 0 < p < 1

Astroidi eli yksikköympyrä p = 2/3 -metriikassa

Avaruudessa Rⁿ, kun n > 1, kaava

$\ \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

$d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}$

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rⁿ, d_p) käytetään merkintää ℓ_n^p. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

ℓ^p-avaruudet

Pääartikkeli: jonoavaruudet

Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä ℓ^p. Tämän erikoistapauksia ovat:

• ℓ¹, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
• ℓ², neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
• ℓ^∞, rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä p-normi määritellään

$\ \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}.$

Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen ℓ^p.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

$\ \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dots ).$

Voidaan todistaa, että

$\ \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}$,

jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön. Kaikki nämä ℓ^p-avaruudet ovat Banach-avaruuksia.

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

L^p-avaruudet

Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus. ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin L^p-avaruus) on kaikkien niiden mitallisten funktioiden S$\rightarrow$C (tai S$\rightarrow$R) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

$\|f\|_{p}:=\left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{1/p}<\infty .$

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\ \ \ {\text{ja}}\ \ \ (\lambda f)(x)=\lambda f(x)\,$

kaikilla skalaareilla λ.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||_p. Niinpä tämä avaruus ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$ on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus ${L}^{p}(S,\mu )$ samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis ${L}^{p}(S,\mu )$ on

$L^{p}(S,\mu ):={\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/N,$

missä

$N:=\mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f=0\ \mu {\text{- melkein kaikkialla}}\}.$

Avaruus L^∞(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

$\|f\|_{\infty }:=\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\mbox{ melkein kaikilla }}x\}.$

Jälleen

$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p},$

jos f ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ) jollain q < ∞.

Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus L^p(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään L^p(μ) tai L^p.

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden L^p-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

Erikoistapauksia

Kuten ℓ²-avaruus, myös avaruus L² on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L²-sisätulo määritellään

$\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).$

Kompleksitapauksessa L^∞ on kommutatiivinen C*-algebra.

ℓ^p-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus L^p-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L ^p lukumäärämitalla merkitään ℓ^p(S).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ²(V) kanssa, missä V on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

Lähteet

• Adams, Robert A. & Fournier, John F. (2003). Sobolev Spaces, 2nd, Academic Press. ISBN 978-0120441433. 
• Bourbaki, Nicolas (1987). Topological vector spaces, Elements of mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-3540136279. 
• DiBenedetto, Emmanuele (2002). Real analysis. Birkhäuser. ISBN 3-7643-4231-5. 
• (1958) Linear operators, volume I. Wiley-Interscience. 
• Duren, P. (1970). Theory of H^p-Spaces. Academic Press. 
• Grafakos, Loukas (2004). Classical and Modern Fourier Analysis. Pearson Education, Inc., 253–257. ISBN 0-13-035399-X. 
• (1965) Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 
• (1984) An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89. Cambridge University Press, xii+240. ISBN 0-521-27585-7. 
• Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" 69: 449–497. 
• (1991) Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. 
• Walter Rudin (1987). Real and complex analysis, 3rd, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. 
• Titchmarsh, EC (1976). The theory of functions. Oxford University Press. ISBN 9780198533498. 
• Aapo Rantalainen: Avaruuden L1(Rn) differentioivien kantojen ominaisuuksista (PDF) (Pro gradu) 2006. Helsingin yliopisto, Matematiikan laitos. Arkistoitu 11.11.2013.