Leija (geometria)

Leija eli deltoidi on geometriassa nelikulmio, jolla on kaksi viereistä sivua yhtä pitkät ja kaksi muuta sivua keskenään yhtä pitkät. Kuvio on symmetrinen toisen lävistäjänsä suhteen.

Leija on symmetrinen nelikulmio, jolla on kahden pituisia sivuja ja jolla lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan.

Leijana pidettävät nelikulmiot ovat yksinkertaisia monikulmioita, joten niillä on vain yksi sisäosa. Kirjallisuudessa saatetaan rajoittua konvekseihin leijoihin, mutta joskus myös konkaavit nelikulmiot hyväksytään mukaan luokitteluun. Niitä voidaan kuitenkin kutsua myös "nuoliksi" tai "nuolenkärjiksi". Konveksien leijojen sisälle voidaan aina piirtää sisäympyrä, joten ne ovat aina tangentiaalisia nelikulmioita. Sen sijaan ulkoympyrän piirtäminen niin, että nelikulmion kaikki kärjet osuvat ympyrän kehälle, onnistuu vain tietyille leijoille. Tällainen leija on silloin syklinen vain, jos eripituisten sivujen sisäkulmat ovat suoria. Leijan lävistäjät leikkaavat toisensa aina kohtisuoraan ja leijat ovat tämän ominaisuuden takia ortodiagonaalisia nelikulmioita.

Leijat eroavat suunnikkaista monin tavoin. Myös suunnikkailla on parittain kaksi yhtä pitkää sivua, mutta ne ovat aina vastakkaiset sivut, kun taas leijoissa ne ovat vierekkäiset sivut. Suunnikkaiden lävistäjät puolittavat aina toisensa, kun leijoissa vain toinen lävistäjä puolittuu. Kuitenkin sekä suunnikkaan että leijan erikoistapauksia ovat neliö (tasasivuinen- ja vielä säännöllinen leija) ja neljäkäs (tasasivuinen leija).

Leijan muotoinen monikulmio voi syntyä eri tavoin. Kun kaksi tasakylkistä kolmiota yhdistetään yhtäpitkistä kannoistaan, syntyy leija. Yhdistyneet kannat jäävät "näkyviin" leijan toisena lävistäjänä. Kun janalla olevista kahdesta pisteestä piirtää erisäteiset ympyrät niin, että kehät leikkaavat toisensa janan eri puolilla, voidaan pisteet ja leikkauspisteet yhdistää konveksiksi leijaksi. Kun kaksi yhtenevää kolmiota yhdistetään vastinsivuistaan, syntyy myös leija. Yhdistynyt sivu toimii leijan toisena lävistäjänä. Tällä tavoin voi syntyä myös konkaavi leija.

Erityispiirteitä

Nelikulmio on leija jos ja vain jos

• kaksi erillistä kahden vierekkäisen sivun paria muodostuvat kumpikin yhtä pitkistä sivuista (määritelmä).
• lävistäjä on yhdelle lävistäjälle kohtisuora puolittaja.
• toinen lävistäjistä toimii kuvion symmetria-akselina eli jakaa nelikulmion kahdeksi yhteneväksi kolmioksi.
• symmetria-akselina toimiva lävistäjä puolittaa vastakkaiset sisäkulmat.

Leija on erikoistapaus ''tangentiaalisesta nelikulmiosta''. Tangentiaalinen nelikulmio on leija jos ja vain jos (kaikki kohdat )

• sen pinta-ala on puolet lävistäjien tulosta.
• sen lävistäjät ovat kohtisuorassa.
• sen tangentiaaliset jänteet ovat yhtä pitkät (katso alempana).
• sen bimediaanit ovat yhtä pitkät (katso alempana).
• sen vastakkaisten sivujen tulot ovat samat.
• sen sisäympyrän keskipiste sijaitsee pisimmällä lävistäjällä.
• sen vastakkaisten sivujen tangenttijanoista ainakin yhdet ovat yhtä pitkät.
• sen lävistäjien leikkauspisteestä nelikulmion sivuille mitatuista etäisyyksistä (korkeuksista) muodostetut vastakkaisten etäisyyksien tulot ovat aina samat.

Sivut ja lävistäjät

Nelikulmio leija, sivut ja lävistäjät

Toinen lävistäjä on aina symmetria-akselin asemassa, joten sitä voidaan kutsua symmetrialävistäjäksi. Toista voisi sitten kutsua poikittaislävistäjäksi, sillä se leikkaa symmetrialävistäjää kohtisuoraan. Leijan vasen ja oikea puoli ovat toistensa peilikuvat symmetrialävistäjän suhteen. Sivun pituudet peilautuvat samanpituisiksi ja samaan asentoon tämän lävistäjän yli. Siksi poikittaislävistäjästä jää puolet symmetrialävistäjän kummallekin puolelle eli se puolittuu.

Koska eripituisia sivuja on leijassa vain kaksi, merkitään ne a ja b (katso viereinen kuvio). Symmetrialävistäjää voidaan merkitä kirjaimella p ja poikittaislävistäjää kirjaimella q. Nelikulmion piiri on siten

$piiri=a+b+a+b$

$=2a+2b=2(a+b)=2s,$

missä s on puolipiiri.

Kulmat

Nelikulmio leija, kulmat

Nelikulmiona leijan sisäkulmien summa on 360°. Leijalla on vastakkaisilla sivuilla yhtä suuret sisäkulmat α sekä symmetra-akselin halkomat kaksi muuta yleensä eri suuruista sisäkulmaa β ja γ. Kulmien summa voidaan siksi kirjoittaa

$2\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }.$

Ulkokulmien summa on konvekseilla monikulmioilla 360°. Jos merkitään jokaisen sisäkulman ulkokulmaa heittomerkillä, saadaan

$2\alpha '+\beta '+\gamma '=360^{\circ }.$

Symmetrialävistäjä p puolittaa sisäkulmat β ja γ. Poikittaislävistäjä q ei sen sijaan välttämättä puolita sisäkulmia α. Sellainen tapahtuu vain neljäkkäälle tai neliölle, joten kulman α voi kirjoittaa jakaantuneen osiin α_A ja α_B.

Bimediaanit ja tangentiaaliset jänteet

Nelikulmio leija, bimediaanit ja tangenttijänteet

Bimediaani on nelikulmiossa jana, joka yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet toisiinsa. Oheiseen kuvioon on sivujen keskipisteet merkitty punaisilla kirjaimilla E, F, G ja H. Kun kummankin sivuparin yhdistää bimediaaneilla EG ja FH, leikkaavat bimediaanit toisensa symmetria-akselilla. Se on seuraus siitä, että leijan bimediaanit ovat aina yhtä pitkät.

Sisäympyrä sivuaa leijan sivuja sivuamispisteissä M, N, Q ja R. Janoja, jotka yhdistävät vastakkaisten sivujen sivuamispisteet, voidaan kutsua nimellä tangenttiaaliset jänteet (engl. tangential cords). Molemmat tangentiaaliset jänteet MQ ja NR ovat leijassa yhtä pitkät ja ne leikkaavat toisensa symmetria-akselilla lävistäjien p ja q kanssa samassa leikkauspisteessä L. Ne leikkaavat toisensa kohtisuoraan vain bisentrisessä leijassa.

Mittoja

Leijaan liittyviä janoja ja kulmia yhdistävät lukuisat säännöt. Oheisista kuvioista voi tunnistaa joitakin suureita, joiden arvon voi laskea annetusta lausekkeesta.

$h={\tfrac {1}{2}}q=a\sin {\tfrac {\beta }{2}}=b\sin {\tfrac {\gamma }{2}}$

$e=a\cos {\tfrac {\beta }{2}}$

$f=b\cos {\tfrac {\gamma }{2}}$

$p=e+f={\sqrt {a^{2}-h^{2}}}+{\sqrt {b^{2}-h^{2}}}$ (poikittaislävistäjä)

$=a\cos {\tfrac {\beta }{2}}+b\cos {\tfrac {\gamma }{2}}$

$q=2h=2{\sqrt {a^{2}-e^{2}}}=2{\sqrt {b^{2}-f^{2}}}$ (symmetrialävistäjä)

$=2f\tan {\tfrac {\gamma }{2}}=2e\tan {\tfrac {\beta }{2}}$

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-(e-f)^{2}}}$ (bimediaanit)

$r={\frac {a}{\cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}}}$ (sisäympyrän säde)

$A={\tfrac {1}{2}}pq=ab\sin \alpha$ (leijan pinta-ala)

Duaalit ominaisuudet

Leijan duaali on tasakylkinen puolisuunnikas. Näiden monikulmioiden ominaisuuksia voidaan verrata seuraavasti:

Tasakylkinen puolisuunnikas	Leija
Kaksi paria yhtäsuuria vierekkäitä sivuja	Kaksi paria yhtä suuria vierekkäitä kulmia
Yhdet vastakkaiset sivut, jotka ovat yhtä pitkiä	Yhdet vastakkaiset kulmat, jotka ovat yhtä suuria
Symmetria-akseli kulkee vastakkaisten sivujen yli	Symmetria-akseli kulkee vastakkaisten kulmien läpi
Nelikulmiolla ympäri piirretty ulkoympyrä	Nelikulmiolla sisään piirretty sisäympyrä

Erityisiä leijoja

Neliö

Neliö

Neliö on erikoistapaus leijasta, jolla sivut a ja b ovat yhtä pitkät ja kulmat ovat kaikki 90°. Symmetria-akseliksi käy kumpi lävistäjä hyvänsä, sillä neliö on säännöllinen nelikulmio muutenkin. Kummatkin lävistäjät jakavat toisensa puoliksi ja ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Kaikki leijan ominaisuudet löytyvät neliöstä, mutta nyt neliö on myös syklinen leija.

Neljäkäs

Neljäkäs

Neljäkäs on myös erityistapaus leijasta, jolla sivut a ja b ovat yhtä pitkät. Symmetria-akseliksi käy kumpi lävistäjä vain. Ne jakavatkin molemmat toisensa puoliksi. Kaikki vastakkaiset kulmat, myös kulmat β ja γ, ovat pareittain yhtä suuret. Neljäkäs ei ole syklinen.

Suorakulmainen leija

Suorakulmainen leija

Suorakulmainen leija tarkoittaa leijaa, jonka symmetriset kulmat α ovat suoria kulmia. Jos tällaisen leijan ympärille piirtää ulkoympyrän halkaisijana pitkä lävistäjä, osuvat myös symmetriset kärjet C ja D kehälle. Tämä johtuu Thaleen lauseesta, jonka mukaan halkaisijalta kehälle piirretty kehäkulma on aina suora, ja päin vastoin, suora kehäkulma merkitsee janan olevan ympyrän halkaisija. Leija on siten syklinen nelikulmio. Koska leijalla on aina myös sisäympyrä, on leijasta tullut bisentrinen nelikulmio. Myös neliö on suorakulmainen leija.

Erikoisen suorakulmaisen leijan, jota käytetään paljon laattojen kuvioinnissa, kulmat ovat 120°-90°-90°-60°. Jos näitä asettaa kolme laattaa tylpimmät kärjet vastakkain, saadaan muodostettua tasasivuinen kolmio. Jos näitä yhdistää kuusi kappaletta terävimmät kärjet yhteen, saadaan säännöllinen kuusikulmio. Kumpaakin muodostelmaa voi käyttää laatoittamiseen ja vieläpä niin, että kumpikin muodostelma esiintyy laatoituksessa yhtä aikaa.

Konkaavi leija

Konkaavi leija

Konkaavilla leijalla on yksi kupera sisäkulma. Symmetrialävistäjä kulkee silloin leijan sisällä ja poikittaislävistäjä leijan ulkopuolella. Lävistäjien jatkeet leikkaavat toisensa edelleen kohtisuoraan ja poikittaislävistäjä puolittuu. Kirjallisuudessa on joissakin luokituksissa rajattu tällaiset konkaavit nelikulmiot pois leijojen luokasta.

Penrosen laatat

Penrosen laatat

Penrosen laatat, jotka ovat leijoja ja nuolia (konkaavi leija eli laatoituksen tyyppi P2), muodostavat konveksin- ja konkaavin leijan laattaparin, jolla on mahdollista peittä tasoalue aukottomasti. Konveksin laatan sisäkulmat ovat 144°-72°-72°-72° ja konkaavin laatan 216°-72°-36°-36°. Penrosen laattojen erikoisuus on, että niillä laatoitetulla tasoalueella ei löydy toistuvaa kuviota vaan kuvio varioituu jatkuvasti.

Lähteet