Esimerkki porrasfunktion kuvaajasta

Porrasfunktio on matematiikassa funktio, joka voidaan koostaa peräkkäisillä suljetuilla, puoliavoimilla tai avoimilla väleillä määritellyistä vakiofunktioista. Toisin sanoen porrasfunktio voidaan esittää äärellisen monen indikaattorifunktion lineaarikombinaationa määrittelyvälinsä jaon avulla. Funktion arvoille jakopisteissä ei ole erillisiä ehtoja. Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisen porrasfunktion kuvaaja muodostaa nimensä mukaisesti ''portaikon''.[1]

MääritelmäMuokkaa

Yhden reaalimuuttujan porrasfunktioMuokkaa

Olkoon   väli (välin ei tarvitse olla rajoitettu). Funktio   on porrasfunktio, jos on olemassa välin   jako

 

ja luvut  ,  , joille

 

kaikilla  .[1]

Porrasfunktio määritellään yhtäpitävästi indikaattorifunktion avulla:   on porrasfunktio, jos

 

missä   ja   on joukon   indikaattorifunktio.

Useamman reaalimuuttujan porrasfunktioMuokkaa

Olkoon  väli. Funktio   on porrasfunktio, jos on olemassa välin   jako   siten, että vastaavassa osavälijaossa   funktio   on vakio jokaisen osavälin sisuksessa. Ts.

 

jollekin   kaikilla  .[2]

Esimerkkejä porrasfunktioistaMuokkaa

 
Heavisiden porrasfunktio
  • Vakiofunktio on yksinkertaisin porrasfunktio. Vakiofunktiossa on vain yksi ''porras'' ja väli   jaetaan yhteen osaväliin.
  • Signum-funktio  ; välin   jako on  .
  • Heavisiden funktio  ; välin   jako on  .
  • Lattia- ja kattofunktiot   ja   ovat porrasfunktioita, jos niiden määrittelyjoukko on rajoitettu. Jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, niin määritelmän mukaan lattia- ja kattofunktiot eivät ole porrasfunktioita, sillä välin   jakopisteitä pitäisi olla äärettömän monta.

Porrasfunktioiden ominaisuuksiaMuokkaa

 , [1]
missä   on välin   pituus.
  • Porrasfunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissaan. Porrasfunktion derivaatta epäjatkuvuuskohtien ulkopuolella on nollafunktio.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b c Hollanti, Camilla: Analyysi 2 2010. Tampereen yliopisto. Viitattu 17.3.2017.
  2. a b c d Purmonen, Veikko T.: Integraalilaskentaa, s. 6. Luentomoniste 36. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 1998. ISBN 951-39-0162-9.