Porrasfunktio

Porrasfunktio on matematiikassa funktio, joka voidaan koostaa peräkkäisillä suljetuilla, puoliavoimilla tai avoimilla väleillä määritellyistä vakiofunktioista. Toisin sanoen porrasfunktio voidaan esittää äärellisen monen indikaattorifunktion lineaarikombinaationa määrittelyvälinsä jaon avulla. Funktion arvoille jakopisteissä ei ole erillisiä ehtoja. Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisen porrasfunktion kuvaaja muodostaa nimensä mukaisesti ''portaikon''.

Esimerkki porrasfunktion kuvaajasta

Määritelmä

Yhden reaalimuuttujan porrasfunktio

Olkoon ${\textstyle I\subset \mathbb {R} }$ väli (välin ei tarvitse olla rajoitettu). Funktio ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ on porrasfunktio, jos on olemassa välin ${\textstyle I}$ jako

$P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}$

ja luvut ${\textstyle a_{i}\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle i=1,2,\dotsc ,n}$, joille

$f(x)=a_{i}$

kaikilla ${\textstyle x\in \,]x_{i-1},x_{i}[}$.

Porrasfunktio määritellään yhtäpitävästi indikaattorifunktion avulla: ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ on porrasfunktio, jos

$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot 1_{A_{i}}(x)$

missä ${\textstyle A_{i}=\,]x_{i-1},x_{i}[}$ ja ${\textstyle 1_{A_{i}}(x)}$ on joukon ${\textstyle A_{i}}$ indikaattorifunktio.

Useamman reaalimuuttujan porrasfunktio

Olkoon ${\textstyle I:=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$väli. Funktio ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ on porrasfunktio, jos on olemassa välin ${\textstyle I}$ jako $P=P^{(1)}\times \dots \times P^{(n)}$ siten, että vastaavassa osavälijaossa $I=\bigcup _{\alpha }I_{\alpha }$ funktio $f$ on vakio jokaisen osavälin sisuksessa. Ts.

$f(x)=c_{\alpha }$

jollekin $c_{\alpha }\in \mathbb {R}$ kaikilla $x\in \mathrm {int} \,I_{\alpha }$.

Esimerkkejä porrasfunktioista

Heavisiden porrasfunktio

• Vakiofunktio on yksinkertaisin porrasfunktio. Vakiofunktiossa on vain yksi ''porras'' ja väli ${\textstyle I=\mathbb {R} }$ jaetaan yhteen osaväliin.
• Signum-funktio ${\textstyle \operatorname {sgn}(x)}$; välin ${\textstyle I=\mathbb {R} }$ jako on ${\textstyle P=\{-\infty ,0,\infty \}}$.
• Heavisiden funktio ${\textstyle H(x)}$; välin ${\textstyle I=\mathbb {R} }$ jako on ${\textstyle P=\{-\infty ,0,\infty \}}$.
• Lattia- ja kattofunktiot ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ ja ${\textstyle \lceil x\rceil }$ ovat porrasfunktioita, jos niiden määrittelyjoukko on rajoitettu. Jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, niin määritelmän mukaan lattia- ja kattofunktiot eivät ole porrasfunktioita, sillä välin ${\textstyle I}$ jakopisteitä pitäisi olla äärettömän monta.

Porrasfunktioiden ominaisuuksia

• Kahden porrasfunktion summafunktio on aina porrasfunktio.
• Kahden porrasfunktion tulofunktio on aina porrasfunktio.
• Kahden porrasfunktion lineaarikombinaatio on aina porrasfunktio.
• Porrasfunktio on paloittain jatkuva (epäjatkuvuuskohtien lukumäärä on äärellinen) määrittelyjoukossaan.
• Porrasfunktio on Riemann-integroituva. Jos ${\textstyle I=[a,b]}$, niin määritelmässä käytetyin merkinnöin

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot \ell (A_{i})$,

missä ${\textstyle \ell (A_{i})=x_{i}-x_{i-1}}$ on välin ${\textstyle A_{i}}$ pituus.

• Porrasfunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissaan. Porrasfunktion derivaatta epäjatkuvuuskohtien ulkopuolella on nollafunktio.

Katso myös

• Erikoisfunktio

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Porrasfunktio Wikimedia Commonsissa