Nollanjakaja

Renkaan R alkiota a kutsutaan vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan oikeaksi nollan jakajaksi, jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 .

Nollanjakaja on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. Kaksipuolinen nollanjakaja on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0).

Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat.

Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta $R\neq \{0\}$.

Esimerkkejä

• Renkaassa $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, jakojäännösluokka ${\overline {2}}$ on nollajakaja, koska ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$ .
• Kokonaislukujen renkaan $\mathbb {Z}$ ainoa nollanjakaja on $0$.
• Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja.
• Renkaan idempotentti alkio $e\neq 1$ on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
• n × n-neliömatriisien rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos n ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä:

$${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$$ $${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$$

Yksipuolinen nollajakaja

• Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ missä $x,z\in \mathbb {Z}$ ja $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Tällöin ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ ja ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$. Jos $x\neq 0\neq z$, niin ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ on vasen nollanjakaja jos ja vain jos $x$ on parillinen, koska ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$, ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos $z$ is parillinen (vastaavista syistä). Jos $x$ tai $z$ on $0$, se on kaksipuolinen nollanjakaja.

Ominaisuuksia

• Tarkastellaan n × n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n × n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla.
• Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin $0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x$, mikä on ristiriita.
• Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y.
• Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y.

Modulin nollanjakaja

Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on M -säännöllinen, jos "kertominen a:lla" eli $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on M:n nollajakaja.

Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R.

Aiheesta muualla

• Zero divisor, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld.