Kommutoiva rengas

algebrassa rengas, jonka kertolasku on vaihdannainen

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat[1]. Jos on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille pätee .

Esimerkkejä kommutoivista renkaistaMuokkaa

  • Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
  • Jäännösluokkarengas   on kommutoiva kaikilla  , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään  , missä  . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös  .

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaistaMuokkaa

  • Reaalisten  -matriisien rengas   ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

  ja  .

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaanMuokkaa

Olkoon   kommutoiva rengas. Merkitään renkaan   yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio)  :llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio)  :llä. Tällöin

  1. Jos kaikilla   ehdosta   seuraa, että   tai  , niin   on kokonaisalue.
  2. Jos kaikilla   yhtälöllä   on ratkaisu  , niin   on kunta.

Jos   on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim.   on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Parkkonen, Jouni: Algebra 2014 (s. 54) Jyväskylän yliopisto. Viitattu 13.1.2017.

KirjallisuuttaMuokkaa