Logistinen funktio
Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen kasvufunktio, jolle nimen antoi Pierre François Verhulst vuonna 1844 tai 1845 tutkiessaan sitä populaation kasvun yhteydessä. Sillä voidaan mallintaa S:n muotoista käyrää, joka kuvaa jonkin populaation P kasvua. Alkuvaiheessaan kasvu on lähes eksponentiaalista, mutta kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan, kasvu hidastuu ja lopulta pysähtyy.
Yksinkertainen logistinen funktio määritellään yhtälöllä
missä muuttujan P voidaan tulkita tarkoittavan populaatiota ja muuttujan t aikaa.[1] Kun t saa kaikki reaalilukuarvot −∞:stä +∞:ään, saadaan S:n muotoinen käyrä. Käytännössä eksponenttifunktion e−t luonteesta johtuen riittää laskea funktion arvot t:n ollessa rajallisella välillä, esimerkiksi välillä [−6, +6].
Logistisella funktiolla on sovelluksia useilla aloilla kuten keinotekoisten neuroverkkojen tutkimuksessa, biologiassa, biomatematiikassa, demografiassa, taloustieteessä, kemiassa, matemaattisessa psykologiassa, todennäköisyyslaskennassa, sosiologiassa, politiikan tutkimuksessa ja tilastotieteessä. Sen derivaatta on
Funktiolla on myös seuraava ominaisuus:
Näin ollen funktio P − 1/2 on pariton funktio.
Logistinen differentiaaliyhtälö
muokkaaLogistinen funktio saadaan epälineaarisen differentiaaliyhtälön
ratkaisuna, missä P on ajan t funktio, ja asettamalla reunaehto P(0) = 1/2. Tämä yhtälö on logistisen kuvauksen jatkuva versio.
Kvalitatiivisesti funktion käyttäytyminen on helposti ymmärrettävissä siten, että sen derivaatta on 0, kun P = 0 tai 1, positiivinen, kun P on 0:n ja 1:n välillä sekä negatiivinen, kun P on suurempi kuin 1 tai pienempi kuin 0 (joskaan sovelluksissa populaatio yleensä ei voi olla negatiivinen). Tämän vuoksi käyrän nollakohdassa on epävakaa tasapainotila ja kohdassa P=1 vakaa tasapainotila, ja millä tahansa P:n arvolla, joka on 0:n ja 1:n välillä, P kasvaa kohti arvoa 1.
Tälle differentiaaliyhtälölle voidaan löytää yleinen ratkaisu
Kun tässä vakion ec arvoksi valitaan 1, saadaan logistiselle käyrälle toinen yleisesti käytetty määritelmä:
Tästä voidaan nähdä, että logistinen käyrä osoittaa varhaista eksponentiaalista kasvua negatiivisilla t:n arvoilla, mutta kasvu hidastuu lineaariseksi lähellä arvoa t = 0 ja lähestyy sen jälkeen asymptoottisesti arvoa y = 1 siten, että erotus pienenee eksponentiaalisesti.
Logistisella funktiolla ja hyperbolisella tangentilla on yhteys
Ekologiassa: Populaation kasvun mallinnus
muokkaaLogistisen yhtälön tyypillinen sovellus on populaation kasvun mallinnus, jonka ensimmäisenä esitti Pierre-François Verhulst vuonna 1838 olettaen, että muiden tekijöiden ollessa samat, väestön lisääntymisvauhti on verrannollinen sekä kulloiseenkin populaatiokokoon että saatavilla oleviin resursseihin. Verhulst julkaisi yhtälönsä luettuaan Thomas Malthusin teoksen An Essay on the Principle of Population. Verhulst johti logistisen yhtälön kuvaamaan biologisen populaation rajallista kasvua. Yhtälöä sanotaan joskus myös Verhulst-Pearlin yhtälöksi, koska Pearl esitti saman asian uudestaan vuonna 1920. Alfred J. Lotka johti yhtälön uudestaan vuonna 1925 ja nimitti sitä populaation kasvun laiksi.
Kun P merkitsee populaation kokoa ja t aikaa, malli voidaan muodollisesti esittää differentiaaliyhtälöllä:
missä vakio r merkitsee kasvuvauhtia ja K ympäristön kantokykyä.
Tämän yhtälön ensimmäinen termi +rP kuvaa varhaista, rajoittamatonta kasvua. Vakion r arvo tarkoittaa populaation P suhteellista kasvua aikayksikössä. Myöhemmin, kun populaatio kasvaa, toinen termi, auki kerrottuna −rP2/K tulee ensimmäistä suuremmaksi, kun populaation jäsenet joutuvat kilpailemaan keskenään jostakin kriittisestä resurssista kuten ravinnosta tai elintilasta. Tätä ilmiötä kutsutaan pullonkaulaksi, ja sitä kuvaa parametrin K arvo. Tämä kilpailu vähentää kasvuvauhtia, kunnes P lakkaa kasvamasta. Tätä tilaa kutsutaan populaation kypsyydeksi.
Jos yhtälön molemmat puolet jaetaan K:lla, saadaan
Kun tähän sijoitetaan , saadaan differentiaaliyhtälö
Kun , saadaan edellä ensiksi esitetty tapaus.
Ekologiassa lajeja sanotaan joskus r-strategisiksi tai K-strategisiksi riippuen tavasta, jolla luonnonvalinta vaikuttaa niihin elämän eri vaiheissa. Yhtälön ratkaisu, kun on populaatiokoko alkuhetkellä, on
missä
Tämä merkitsee, että K on raja-arvo, jota P lähestyy äärettömän pitkän ajan kuluessa, mutta jota se ei koskaan saavuta. On kuitenkin huomattava, että populaatiokoko lähestyy asymptoottisesti kantokykyä K riippumatta P:n arvosta, siinäkin tapauksessa, että alkutilanteessa P(0) > K.
Ajasta riippuva kantokyky
muokkaaKoska ympäristöolosuhteet vaikuttavat kantokykyyn, se voi vaihdella ajan kuluessa: K(t) > 0, mikä johtaa seuraavaan matemaattiseen malliin:
Erityisen huomattava tapaus on sellainen, jossa kantokyky vaihtelee jaksollisesti jakson ollessa T:
Voidaan osoittaa, että riippumatta alkuarvosta P(0) > 0, tällaisissa tapauksissa P(t) lähestyy yksikäsitteistä jaksollista ratkaisua P*(t), jonka jakso on T.
Tavallisimmassa tapauksessa jakso T on yksi vuosi, jolloin K(t) kuvastaa sään vaihtelua eri vuodenaikoina.
Toinen mielenkiintoinen tapaus on sellainen, jossa kantokyky K(t) riippuu populaatiokoosta aikaisemmalla hetkellä, koska populaatio itse muuttaa ympäristöään, mikä vaikuttaa tietyllä viiveellä myös sen kantokykyyn. Tämä johtaa logistiseen viiveyhtälöön[2], jonka ratkaisut voivat parametrien arvoista riippuen olla hyvin moninaisia. Ne voivat olla vakaita, monotonisesti kohti nollaa väheneviä, eksponentiaalisesti kasvavia, rajattomasti kasvavia mutta välillä hidastuvia, jonkin arvon molemmin puolin heilahtelevia tai päätyä nollaan äärellisessä ajassa, mikä merkitsee sukupuuttoa.
Neuroverkot
muokkaaLogistisia funktioita käytetään usein neuroverkkojen yhteydessä epälineaarisuuden saamiseksi malleihin tai signaalien rajoittamiseksi tietylle välille. Tavallinen neuraalinen verkkoelementti laskee syöttösignaaleista lineaarikombinaation ja käyttää rajoitettua logistista funktiota tuloksen muodostamiseen; tätä voidaan pitää klassisen kynnysneuronin tasoitettuna muunnoksena.
Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa tekemällä käännöksen loppuun. |
Yleinen valinta funktioksi, jolla neuroverkkojen tulokset saadaan rajoitetuiksi[3], on
jonka kuvaaja on logistisen käyrän muotoinen.
Tilastotieteessä
muokkaaTilastotieteessä logistisia funktioita käytetään moneen tarkoitukseen. Ensinnäkin logistisen jakauman kertymäfunktio on sellainen. Toiseksi niitä käytetään logistisessa regressiossa kuvaamaan, kuinka jonkin tapahtuman todennäköisyys p voi riippua joistakin selittävistä tekijäistä. Esimerkkinä voidaan mainita malli
missä x on selittävä muuttuja ja a ja b malliin sovitettavat parametrit.
Lääketieteessä: kasvainten kasvu
muokkaaLogistista funktiota käytetään myös lääketieteessä, jossa logistista differentiaaliyhtälöä käytetään mallintamaan kasvainten kasvua. Niiden voidaan olettaa noudattavan samaa lakia kuin edellä selitetty populaation kasvun. Jos kasvaimen koolle hetkellä t käytetään merkintää X(t), sen koko ajan kuluessa kehittyy yhtälön
mukaisesti, joka on tyyppiä:
missä F(X) on kasvaimen kasvuvauhti.
Jos kemoterapiassa lähdetään tilanteesta, jossa hoito jollakin todennäköisyydellä tappaa syöpäsolun, yhtälö voidaan korjata muotoon
missä c(t) kuvaa sitä, minkä todennäköisyydellä hoito tappaa syöpäsolun. Ideaalisessa hyvin pitkän hoidon tapauksessa c(t) voidaan mallintaa jaksollisena funktiona (jaksona T) tai jatkuvan infuusion tapauksessa vakiona, jolloin yhtälö saadaan muotoon
eli jos hoidon aikaansaama syöpäsolujen kuolleisuus on suurempi kuin niiden lisääntymisvauhti, tauti saadaan parannetuksi. Tämä on tietysti hyvin yksinkertaistettu malli sekä kasvusta että hoidosta, sillä tässä ei oteta huomioon potilaan vastustuskykyä.
Kemiassa
muokkaaAutokatalyyttisissä reaktioissa reaktiotuotteiden konsentraatiot kasvavat logistisen funktion mukaisesti.
Fysiikassa: Fermin jakauma
muokkaaLogistinen funktio kuvaa fermionien tilastollista jakaumaa eri energiatiloissa systeemin ollessa termisessä tasapainossa. Se on Fermin-Diracin statistiikan mukainen jakauma, joka osoittaa, millä todennäköisyydellä kullakin mahdollisella energiatilalla on fermioni.
Kielitieteessä: kielen muutos
muokkaaKielitieteessä logistisella funktiolla voidaan mallintaa kielen muutosten leviämistä.[4]. Uusi piirre kielessä, esimerkiksi uudissana, on aluksi harvinainen, mutta saattaa nopeasti yleistyä, mutta sen yleistyminen hidastuu sen tullessa vähitellen yleisesti omaksutuksi.
Taloustieteessä: innovaatioiden leviäminen
muokkaaLogistisella funktiolla voidaan kuvata innovaatioiden leviämisestä niiden elinkaaren aikana. Näin sitä ovat käyttäneet useat IIASA: (International Institute of Applied Systems Analysis) tutkijat. Heidän tutkimuksensa koskevat useiden innovaatioiden, infrastruktuurien ja energianlähteiden leviämistä, työn merkitystä taloudessa sekä pitkin aikavälin taloudellisia syklejä. Viimeksi mainittuja on tutkinut Robert Ayres vuonna 1989.[5] Cesare Marchetti on tutkinut samaan tapaan Kondratjevin syklejä ja innovaatioiden leviämistä.[6][7] Arnulf Grüblerin kirja vuodelta 1990 sisältää yksityiskohtaista tietoa esimerkiksi kanavien, rautateiden, valtateiden ja lentoliikennteen kehityksestä ja osoittaa, että niiden yleistyminen on noudattanut logistista funktiota.[8]
Carlota Perez käytti logistista käyrää kuvaamaan pitkän aikavälin taloudellisia syklejä eli Kondratjevin syklejä käyttäen seuraavia termejä: irruptio merkitsee jonkin teknologisen aikakauden alkua, vimma (frenzy) sen nousua, synergia nopeaa rakentumista ja maturiteetti valmistumista.[9]
Kaksoislogistinen funktio
muokkaaKaksoislogistinen funktio on samantapainen kuin logistinen funktio, ja sillä on monia sovelluksia. Sen yleinen yhtälö on
missä d on keskus ja s sen jyrkkyyttä kuvaava tekijä. Tässä "sgn" merkitsee merkkifunktiota, joka on +1, jos sen argumentti on positiivinen, ja -1, jos sen argumentti on negatiivinen.
Kaksoislogistinen funktio perustuu Gaussin käyrään, ja sen kuvaaja muistuttaa kahta logistista käyrää, jotka koskettavat toisiaan pisteessä x = d.
Sitä käytetään muun muassa aineiston epälineaariseen normalisointiin, ja sen ominaisuuksiin kuuluu, että se eliminoi muista suuresti poikkeavat tapaukset.
Lähteet
muokkaa- Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer: Probabilistic Linguistics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2003. ISBN 0-262-52338-8
- Gershenfeld, Neil A.: The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521-570954
- Kingsland, Sharon E.: Modeling nature: episodes in the history of population ecology. Chicago: University of Chicago Press, 1995. ISBN 0-226-43728-0
- Logistinen yhtälö Mathworldissa (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
Viitteet
muokkaa- ↑ Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique, 1838, nro 10. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 09/08/2009.
- ↑ V.I. Yukalov, E.P. Yukalova, D. Sornette, Punctuated Evolution due to Delayed Carrying Capacity, Physica D 238, 1752–1767 (2009)
- ↑ Gershenfeld 1999, p.150
- ↑ Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, pp. 147–156
- ↑ Robert Ayres: Technological Transitions and Long Waves iiasa.ac.at. Arkistoitu 16.7.2011. Viitattu 13.10.2011.
- ↑ Cesare Marchetti: Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic agci.org. Arkistoitu 5.3.2012. Viitattu 13.10.2011.
- ↑ Cesare Marchetti: Kondratiev Revisited-After One Cycle cesaremarchetti.org. Arkistoitu 9.3.2012. Viitattu 13.10.2011.
- ↑ Arnulf Grübler: The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport. Heidelberg ja New York: Physica-Verlag, 1990. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages. Edward Elgar Publishing Limited, 2002. ISBN1843763311
Aiheesta muualla
muokkaa- L. J. Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve?, Viitattu 2009-09-12.
- Luna.cas.usf.edu (Arkistoitu – Internet Archive)
- Modeling Market Adoption in Excel with a simplified s-curve
- Logistinen funktio Mathworldissa (englanniksi)
- Online experiments with JSXGraph