Lissajous’n käyrät

Lissajous’n käyrät, Lissajous’n kuviot eli Bowditchin käyrät ovat joukko matemaattisia käyriä, joiden yhtälöt voidaan esittää parametrimuodossa seuraavasti:

x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),

.^[1]

Fysikaalisesti Lissajous’n käyrä on hiukkasen liikerata, kun se on tasossa harmonisessa värähdysliikkeessä samanaikaisesti kahdessa kohtisuorassa suunnassa.^[2] Yleensä edellytetään lisäksi, että näiden kohtisuorissa suunnissa mitattujen taajuuksien suhde on rationaaliluku.^[3]

Näitä käyriä tutki Nathaniel Bowditch vuonna 1815 ja yksityiskohtaisemmin Jules Antoine Lissajous vuonna 1857.^[1] Niillä on sovelluksia fysiikassa, elektroniikassa, tähtitieteessä ja muissa tieteissä.^[1]

Yleistä

Lissajous'n käyrät voivat olla hyvinkin eri muotoisia riippuen suhteesta ${\frac {a}{b}}$ . Yksinkertaisimpia erikoistapauksia ovat seuraavat:

Jos suhde on 1, kuvio on ellipsi, paitsi
- jos lisäksi A = B ja $\delta ={\frac {\pi }{2}}$ , kuvio on ympyrä
- jos δ = 0, kuvio on pelkkä jana.^[1]
Jos suhde ${\frac {b}{a}}=2$ ja $\delta ={\frac {\pi }{4}}$ , kuvio on paraabelin kaari.^[1]

Muilla suhteen b/a arvoilla saadaan monimutkaisempia kuvioita, ja ne ovat suljettuja käyriä vain, jos tämä suhde on rationaaliluku.^[1] Käyrien ulkonäkö tuo usein mieleen kolmiulotteisen solmun, ja itse asiassa monien solmujen, muun muassa Lissajous'n solmujen projektio tasolla on Lissajous'n käyrä.

Lissajous’n kuvio oskilloskoopilla. Tällainen kuvio saadaan aikaan kahdella syötetyllä signaalilla, jotka värähtelevät sinimuotoisesti ja joiden taajuuksien suhde on 1:3, kun toinen niistä asetetaan ohjaamaan kuvapisteen sijaintia vaakasuunnassa ja toinen pystysuunnassa.

Visuaalisesti suhde a:b määrittää kuvion silmukoiden tai liuskojen lukumäärän. Esimerkiksi jos suhde on 3:1 tai 1:3, saadaan oheisen kuvan muotoinen kolmisilmukkainen kuvio. Samaan tapaan suhteella 5:4, saadaan kuvio, jossa on viisi vaakasuoraa ja neljä pystysuoraa silmukkaa. Jos suhde on rationaalinen, kuvio on suljettu, yhtenäinen käyrä, kun taas irrationaalisilla suhteilla saadaan kuvio, joka näyttää pyörivän. Suhde a:b määrittää kuvion leveyden ja korkeuden suhteen, tai täsmällisemmin sanottuna pienimmän sellaisen suorakulmion leveyden ja korkeuden suhteen, jonka sisään Lissajous'n käyrä kokonaan mahtuu. Esimerkiksi jos suhde on ⁠2/1⁠, saadaan kuvio, joka on kaksi kertaa niin korkea kuin se on leveä.

Yhtälöissä esiintyvä termi δ määrittää, minkä verran kuvio näyttää "kääntyneeltä", vinossa asennossa olevalta, jos sitä katsotaan ikään kuin se olisi kolmiulotteinen käyrä. Jos esimerkiksi δ = 0, komponentit x ja y ovat tarkalleen samassa vaiheessa, niin että kuvio näyttää samalta kuin kohtisuorasta suunnasta katsottu kolmiulotteinen kuvio. Sen sijaan δ:n ollessa nollasta poikkeava kuvio näyttää siltä kuin sitä katsottaisiin vinosta suunnasta, suhteesta ${\frac {a}{b}}$ riippuen joko vaaka- tai pystysuorassa suunnassa vinoon kääntyneeltä. Fysikaalisesti parametri δ osoittaa erisuuntaisten värähdysten vaihe-eron hetkellä t = 0.

Lissajous'n kuviot, joilla a = 1 ja b luonnollinen luku ja joille

\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}

ovat samalla ensimmäisen asteen Tšebyšovin polynomeja. Tätä seikkaa käytetään hyväksi muodostettaessa Paduan pisteiksi sanottu pistejoukko, joissa jokin funktio voidaan mallintaa, jotta sen arvot voidaan laskea bivariaatilla interpolaatiolla tai neliöimällä funktio suorakulmiossa [−1,1] × [−1,1].

Esimerkkejä

Animaatio, joka osoittaa, miten Lissajous’n käyrän muoto muuttuu suhteen

{\frac {a}{b}}

kasvaessa 0:sta 1:een.

Oheinen animaatio osoittaa, miten Lissaous’n käyrän muoto muuttuu, kun suhde ${\frac {a}{b}}$ kasvaa arvosta 0 arvoon 1.

Seuraavat kuviot esittävät Lissajous’n käyriä eri δ:n arvoilla ja muutamilla suhdeluvuilla a:b, kun ainakin jompikumpi luvuista a tai b on 1:

δ	1:1	1:2	1:3		2:1
0
¹/₄·π
¹/₂·π
³/₄·π
1·π
1¹/₄·π
1¹/₂·π
1³/₄·π
2·π

Kuten näistä esimerkeistäkin ilmenee, jos luvut a ja b vaihdetaan keskenään, saatava Lissajous'n kuvio on muodoltaan muutoin samankaltainen mutta kääntynyt peilikuvakseen suoran y = x (taustaneliön yläoikealta alavasemmalle johtavan lävistäjän) suhteen.

Seuraavassa vielä muutamia Lissajous'n käyriä suhdeluvuilla 2:3 ja 3:4 vaihe-eron δ eri arvoilla:

δ	2:3		δ	3:4
0			0
¹/₂·¹/₄·π			¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π			¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π			¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π			¹/₃·π
5/8·π			5/12·π
³/₄·π			¹/₂·π
7/8·π			7/12·π
1·π			²/₃·π

Lissajous'n käyrä, joka saadaan, kun suhde ${\frac {a}{b}}$ = 1:2 tai 2:1 ja kun $\delta ={\frac {\pi }{2}}$ , tunnetaan myös Geronon lemniskaattana. Se muistuttaa muodoltaan numeroa 8 tai äärettömän merkkiä $\infty$ , ja se on samalla yhtälön

x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.

kuvaaja.

Lissajous'n käyrien tuottaminen ja sovelluksia

Ennen nykyaikaisten elektronisten laitteiden kehittymistä Lissajous'n kuviot saatiin helpoimmin aikaan mekaanisesti harmonografin avulla.

Lissajous'n kuvioita voidaan myös saada aikaan optisesti kahden ääniraudan avulla, joihin on kiinnitetty peilit ja joista toinen on kiinnitetty telineeseen värähtelemään vaakasuorassa, toinen pystysuorassa suunnassa. Jos valo saapuu pienestä valolähteestä, Lissajous'n komparaattorista, kohtisuorasti ensin vaakasuoraan äänirautaan, jossa olevasta peilistä se heijastuu pystysuorassa ääniraudassa olevaan peiliin ja sieltä edelleen varjostimelle, tälle varjostimelle muodostuu Lissajous'n käyrän muotoinen valokuvio, jonka muoto riippuu äänirautojen värähtelytaajuuksien suhteesta.^[4]

Lissajous'n käyrät oskilloskoopilla

Lissajous'n kuvio oskilloskoopin näyttöruudulla. Tällainen kuvio saadaan aikaan kahdella syötetyllä signaalilla, jotka värähtelevät sinimuotoisesti ja joiden taajuuksien suhde on 1:3, kun toinen niistä asetetaan ohjaamaan kuvapisteen sijaintia vaaka- ja toinen pystysuorassa suunnassa.

Lissajous'n kuvioita saadaan helposti aikaan myös oskilloskoopilla ohjaamalla sen x- ja y-akselien suuntaisille poikkeutuslevyille eritaajuiset vaihtojännitteet. Käyrän muodosta voidaan tällöin päätellä myös niiden taajuuksien suhde.^[3]

Äänentoistotekniikassa tätä menetelmää käytetään stereolaitteiden vasemman- ja oikeanpuoleisen kanavan välisen vaihe-eron reaaliaikaiseen tutkimiseen. Tähän tarkoitukseen rakennettu myös tavallista oskilloskooppia kehittyneempiä konsoleja.

Oletetaan, että kanava CH1 on kytketty oskilloskoopin x-akselin ja CH2 y-akselin suuntaiseen poikkeutuslevyyn. Jos kanavalla CH1 esiintyvän signaalin amplitudi on A ja taajuus a, kun taas kanavalla CH2 esiintyvän signaalin amplitudi on B ja taajuus b, oskilloskoopin näyttöruudulle saadaan Lissajous'n käyrä, joka vastaa suhdetta a:b, ja sen määrittelevässä yhtälössä esiintyvä termi δ osoittaa kanavien välisen vaihe-eron.

LTI-systeemit

Lissajous'n kuvio, kun molemmat syötetyt taajuudet ovat yhtä suuri, mutta niillä on vaihe-ero, on muodoltaan ellipsi.

Yläkuvassa: sisään syötettävä signaali ajan funktiona.
Keskellä: Ulos tuleva signaali ajan funktiona.
Alakuvassa: Muodostuva Lissajous'n käyrä, kun ulos tuleva signaali esitetään sisään menevän signaalin funktiona.
Tässä erikoistapauksessa, kun sisään menevän ja ulos tulevan signaalin vaihe-ero on 90 astetta, syntyvä Lissajous'n kuvio on ympyrä.

Kun LTI-systeemiin (lineaariseen ajan suhteen invarianttiin systeemiin) syötettävä signaali on sinimuotoinen, myös ulos tuleva signaali on sinimuotoinen, mutta sillä saattaa olla eri amplitudi ja vaihesiirto. Koska oskilloskoopin avulla voidaan esittää jännitteen vaihtelut, paitsi ajan, myös toisen jännitteen funktiona, sen avulla voidaan myös näyttää LTI-systeemin tuottama signaali sisään menevän signaalin funktiona, jolloin tuloksena saadaan sellainen Lissajous'n kuvio, jolle a = b, toisin sanoen yleensä ellipsi (erikoistapauksissa ympyrä tai jana). Tämän ellipsin aspektisuhde eli sen iso- ja pikkuakselin suhde riippuu vain sisäänmenevän ja ulostulevan signaalin välisestä vaihe-erosta. Jos vaihe-ero on ±90°, aspektisuhde on 1 ja kuvio on ympyrä. Jos taas vaihe-ero on 0° tai 180°, aspektisuhde on ∞ ja kuvio on jana.^[5]

Alla oleva kuvio sisältää yhteenvodon siitä, millainen Lissajous'n kuvio saadaan milläkin vaihe-erolla. Nuolet osoittavat Lissajous'n kuvion kiertosuuntaa.^[5] Kaaviossa esitetyt vaihe-erot ovat kaikki negatiivisia, mutta samat kuviot saadaan myös positiivisilla vaihe-eroilla; esimerkiksi vaihe-ero +90° tuottaa saman kuvion kuin −270°.

Ellipsin muotoisen Lissajous'n kuvion eksentrisyys riippuu vaihe-erosta, ja sen avulla voidaan määrittää LTI-systeemin vaihesiirto.

Elektroniikassa

Lissajous'n käyrän avulla voidaan kokeellisesti selvittää, onko tutkittava komponentti kelvollinen memristori.^[6]

Lissajous'n käyrät kulttuurissa

Elokuvissa

Tieteiselokuvien tyylinen Lissajous-animaatio

Oskilloskoopin näytöllä esiintyvät Lissajous'n kuviot esiintyivät toisinaan 1960- ja 1970-luvuilla tieteiselokuvissa ja televisio-ohjelmissa eräänlaisina korkean teknologian symboleina.^[7]

Lissajous'n kuvioihin perustuu myös John Whitneyn laatima alkukuva Alfred Hitchcockin elokuvassa Vertigo – punainen kyynel vuodelta 1958.^[8]

Yrityslogot

Lissajous'n kuviot esiintyvät myös joidenkin yhtiöiden logoissa. Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat:

Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3 ja $\delta ={\frac {\pi }{2}}$ )^[9]
MIT:n Lincoln Laboratory (a = 4, b = 3 ja δ = 0)^[10]
japanilainen University of Electro-Communications (a = 5, b = 6 ja $\delta ={\frac {\pi }{2}})$ .

Modernissa taiteessa

Dadaistinen taiteilija Max Ernest on eräissä maalauksissaan maalannut Lissajous'n kuvioita keinuttamalla kankaan yllä maalipurkkia, jonka pohjaan oli puhkaistu reikä.^[11]

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Lissajous curve

Lähteet

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissajous Curve MathWorld. Viitattu 2.8.2017.
↑ Timo Kärkkäinen ym.: ”Harmoninen liike”, Atomista avaruuteen: Aallot fysiikassa, s. 15. Otava, 1995. ISBN 951-1-13612-7
↑ ^a ^b ”Lissajousin kuviot”, WSOY:n iso tietosanakirja, 5. osa (Kp–L), s. 332. WSOY, 1996. ISBN 951-0-20158-8
↑ ”Lissajous'n kuviot”, Tietosanakirja, 5. osa (Kulttuurisana–Mandingo), s. 1037–1038. Tietosanakirja Oy, 1913. Teoksen verkkoversio.
↑ ^a ^b A. H. Khazali, Mohamad R. Askari: Geometrical and Graphical Representations Analysis of Lissajous Figures in Rotor Dynamic System. IOSR Journal of Engineering, 2012, 2. vsk, nro 5, s. 971–978.
↑ L. O. Chua, S. M. Kang: Memristive devices and systems. Proceedings of the IEEE, 1976, 64. vsk, nro 2, s. 209–223. doi:10.1109/PROC.1976.10092
↑ Alan Pipes: A long way from Lissajous figures. New Scientist, 24.9.1987. Reed Business Information. ISSN 0262-4079 Artikkelin verkkoversio.
↑ Did 'Vertigo' Introduce Computer Graphics to Cinema? rhizome.org. Viitattu 2.8.2017.
↑ The ABC's of Lissajous figures Australian Broadcasting Corporation. Viitattu 2.8.2017.
↑ Lincoln Laboratory Logo MIT Lincoln Laboratory.
↑ From Max Ernst to Ernst Max: Epistemology in art an science herts.ac.uk. Viitattu 2.8.2017.

Aiheesta muualla

Seuraavilla sivuilla on interaktiivisia demonstraatioita, joilla voidaan muodostaa Lissajou'n kuvioita.

Chiu-king Ng: Lissajous Figures (Java-applet, jolla voidaan muodostaa Lissajous'n kuvioita) phy.hk.
Filip Konieczny: Lissajous – Robust Version (Demonstraatio) codepen.io.
Higo Breitenbach: Vibrating Strings, musical Intervals and Lissajous Curves gerdbreitenbach.de.
HTML55 Lissajous (Demonstraatio, jossa arametreille a ja b voidaan valita mikä tahansa kokonaislukuarvo 1:n ja 12:n väliltä) devadutta.net. Arkistoitu 12.9.2017. Viitattu 2.8.2017.
Lissajous curves (Interaktiivinen Lissajous'n käyriä generoiva JSXGraphia käyttävä JavaScript-applet) jsxgraph.uni-bayreuth.de.
Animated Lissajous figures ibiblio.org.

[MathWorld-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissajous Curve MathWorld. Viitattu 2.8.2017.

[2] Timo Kärkkäinen ym.: ”Harmoninen liike”, Atomista avaruuteen: Aallot fysiikassa, s. 15. Otava, 1995. ISBN 951-1-13612-7

[WSOY-3] ”Lissajousin kuviot”, WSOY:n iso tietosanakirja, 5. osa (Kp–L), s. 332. WSOY, 1996. ISBN 951-0-20158-8

[4] ”Lissajous'n kuviot”, Tietosanakirja, 5. osa (Kulttuurisana–Mandingo), s. 1037–1038. Tietosanakirja Oy, 1913. Teoksen verkkoversio.

[Al-Khazali-5] A. H. Khazali, Mohamad R. Askari: Geometrical and Graphical Representations Analysis of Lissajous Figures in Rotor Dynamic System. IOSR Journal of Engineering, 2012, 2. vsk, nro 5, s. 971–978.

[6] L. O. Chua, S. M. Kang: Memristive devices and systems. Proceedings of the IEEE, 1976, 64. vsk, nro 2, s. 209–223. doi:10.1109/PROC.1976.10092

[Information1987-7] Alan Pipes: A long way from Lissajous figures. New Scientist, 24.9.1987. Reed Business Information. ISSN 0262-4079 Artikkelin verkkoversio.

[8] Did 'Vertigo' Introduce Computer Graphics to Cinema? rhizome.org. Viitattu 2.8.2017.

[9] The ABC's of Lissajous figures Australian Broadcasting Corporation. Viitattu 2.8.2017.

[10] Lincoln Laboratory Logo MIT Lincoln Laboratory.

[11] From Max Ernst to Ernst Max: Epistemology in art an science herts.ac.uk. Viitattu 2.8.2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]