Avaa päävalikko

Harmoninen värähtelijä

Tämä artikkeli käsittelee klassista harmonista värähtelijää. Harmoninen värähtelijä voi tarkoittaa myös kvanttimekaanista harmonista värähtelijää.
Jousi-massasysteemi värähtelee sinimuotoisesti.

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima. Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen tasapainoasemasta:

missä

  • on kappaleeseen kohdistunut voima,
  • on vakio (esimerkiksi jousille jousivakio, joka ilmaisee jousen jäykkyyttä),
  • ja poikkeama tasapainoasemasta.

Harmoninen voima suuntautuu aina kohti tasapainoasemaa, sillä voimasta aiheutuva kiihtyvyys on jatkuvasti kohti tasapainoasemaa. Heiluri ja jousen päässä värähtelevä punnus ovat hyviä esimerkkejä harmonisesta värähtelijästä.

Jos F on ainoa systeemiin vaikuttava voima, kutsutaan systeemiä silloin vaimentumattomaksi tai ideaaliseksi harmoniseksi värähtelijäksi. Tällaisella värähtelijällä on vakioamplitudi ja –taajuus, joka ei riipu amplitudista. Värähtely on tällöin sinimuotoista.

Jos systeemiin vaikuttaa nopeuteen verrannollinen voima (kitkavoima), kutsutaan värähtelijää silloin vaimennetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Systeemillä on tällöin mahdollisuus käyttäytyä eri tavoin riippuen kitkakertoimen arvosta.

Jos systeemiin vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva voima (ns. pakkovoima), kutsutaan värähtelijää silloin pakotetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Pakkovoima tuo systeemiin uutta energiaa, joka voi estää vaimennetun harmonisen värähtelijän amplitudin pienenemisen ajan kuluessa.

Vaimenematon harmoninen värähtelijäMuokkaa

 
Kitkaton jousi-massasysteemi on vaimenematon harmoninen värähtelijä.

Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:

 

Newtonin 2. laki:

 

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta

 

Jos määritellään  , voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:

 

jonka yleinen ratkaisu on

 

Amplitudi A ja vaihe   määritetään alkuehdosta.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

 

missä   on siirtynyt   verran.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa

 

missä   and   ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.

Värähtelyn taajuudeksi saadaan:

 

Värähtelyn nopeudeksi v ja kiihtyvyydeksi a saadaan

  ja
 

Värähtelijän kineettinen energia on

 

ja potentiaalienergia

 

Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.

Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:

 

Pakotettu harmoninen värähtelijäMuokkaa

Pakkovoima Fd on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja  , on systeemin liikeyhtälö muotoa

 

missä F0 on pakkovoiman amplitudi ja   on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa

 

kun siis  . Jos tarkastellaan tapausta, jossa  , ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan

 

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan t kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos   on hyvin lähellä arvoa  , mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

 

Kun   on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.


Vaimennettu harmoninen värähtelijäMuokkaa

 
Vaimennettu jousi-massasysteemi.
 
Systeemin käyttäytyminen riippuu vaimennuskertoimesta  .

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä

 

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään   ja  .

YlivaimennusMuokkaa

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että  , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska a, b > 0 ja b < a. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa, kun  . Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 korkeintaan kerran.

AlivaimennusMuokkaa

Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että  , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

jolloin syntyy vaimeneva värähdysliike, joka lähenee koko ajan tasapainoasemaa x = 0.

Kriittinen vaimennusMuokkaa

Jos vaimennuskerroin on  , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 tasan kerran ja  , kun  .

Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijäMuokkaa

 
Massa m on kytketty jouseen ja vaimennukseen, jonka vaimennuskerroin on B ja F on ulkoinen pakkovoima.


Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla Fd. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on

 

jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan

 

missä

 

ja

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • M. L. Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences, s. 297. United States: John Wiley & Sons, 1983. ISBN 0-471-04409-1. en
  • G. R. Fowles & G. L. Cassiday: Analytical Mechanics sixth edition, s. 69. United States: Brooks/Cole Pub Co, 1998. ISBN 0-03-022317-2. en
  • H. D. Young & R. A. Freedman & T. R. Sandin & A. L. Ford: Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics, s. 392. United States: Addison Wesley Publishing Company, 2000. ISBN 0-201-60336-5. en

Aiheesta muuallaMuokkaa