Propositiologiikka

Propositiologiikka eli lauselogiikka on symbolisen logiikan alue, jossa tutkitaan propositiosymboleja ja loogisia konnektiiveja sisältävien formaalikielen lauseiden ominaisuuksia. Näistä ominaisuuksista keskeisimpiä ovat totuus ja lauseiden väliset päättelysuhteet.

Propositiosymboleina käytetään formaalikielessä yleensä merkkejä $p_{0}$, $p_{1}$, $p_{2}$ jne. Eri propositiosymbolien voidaan tulkita edustavan toisistaan riippumattomia asiantiloja. Loogisille konnektiiveille käytetään usein merkkejä kuten $\neg ,\land ,\lor$. Nämä vastaavat karkeasti ottaen luonnollisen kielen lausekonnektiiveja, esimerkiksi "ei", "ja" ja "tai".

Propositiologiikkaa kehittivät ensimmäisenä stoalaiset.

Propositiologiikan syntaksi

Propositiologiikassa atomilauseita merkitään propositiosymboleilla $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots \,\!$. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia $A,B,C,\ldots \,\!$. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita.

Propositiosymboleja voidaan määritellä seuraavaan tapaan:

• $p_{0}=_{df}\,\!$"$2+4=6\,\!$".
• $p_{1}=_{df}\,\!$"Esko ui".
• $p_{2}=_{df}\,\!$"Esko kastuu".

Propositiosymboleista voidaan rakentaa monimutkaisempia ilmaisuja loogisten operaattoreiden eli konnektiivien avulla. Joskus osa konnektiiveista voidaan korvata määrittelemällä ne muutaman valitun konnektiivin avulla. Yleensä konnektiiveja esitellään seuraavat viisi, mutta on olemassa myös pari muuta konnektiivia: Shefferin viiva ja Peircen nuoli.

Merkitys	Merkintä	Lukutapa
negaatio	$\neg {}A$	"ei A" (engl. not A)
konjunktio	$(A\wedge {}B)$	"A ja B" (engl. A and B)
disjunktio	$(A\vee {}B)$	"A tai B" (engl. A or B)
implikaatio	$(A\to {}B)$	"jos A niin B"
ekvivalenssi	$(A\leftrightarrow {}B)$	"A jos ja vain jos B"

Seuraavassa rekursiivisessa määritelmässä määritellään kaikki propositiolauseet.

Määritelmä 1 Propositiolause

1. Propositiosymbolit ovat propositiolauseita.
2. Jos $A\,\!$ on propositiolause, niin $\neg {}A\,\!$ on propositiolause.
3. Jos $A\,\!$ ja $B\,\!$ ovat propositiolauseita, niin $(A\wedge {}B)\,\!$ on propositiolause.
4. Jos $A\,\!$ ja $B\,\!$ ovat propositiolauseita, niin $(A\vee {}B)\,\!$ on propositiolause.
5. Jos $A\,\!$ ja $B\,\!$ ovat propositiolauseita, niin $(A\to {}B)\,\!$ on propositiolause.
6. Jos $A\,\!$ ja $B\,\!$ ovat propositiolauseita, niin $(A\leftrightarrow {}B)\,\!$ on propositiolause.

Esimerkki 2 Propositiolauseita

• $\neg {}p_{0}\,\!$
• $(p_{0}\to {}p_{1})\,\!$
• $\neg ((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1}))\,\!$

Määritelmän 1 perusteella propositiolauseet voidaan purkaa osatekijöikseen yksiselitteisellä tavalla (katso propositiologiikan rakennepuu). Tällöin edetään vastakkaiseen suuntaan. Jos $A\,\!$ on propositiolause, niin se on välttämättä muotoa $p_{i}\,\!$, $\neg {}B\,\!$, $(B\wedge {}C)\,\!$, $(B\vee {}C)\,\!$, $(B\to {}C)\,\!$ tai $(B\leftrightarrow {}C)\,\!$. Muussa tapauksessa sitä ei ole muodostettu määritelmän mukaisesti. Tämä mahdollistaa matemaattisen induktion soveltamisen logiikkaa koskevissa todistuksissa.

Päättely propositiologiikassa

Propositiologiikassa (kuten formaalissa logiikassa muutenkin) voidaan erottaa kaksi päätapaa tutkia päättelyä: Päättelysäännöt (syntaktinen näkökulma) ja totuusarvon laskeminen (semanttinen näkökulma). Päättelysäännöt sinänsä eivät takaa sitä, että päättely säilyttää totuuden. Tämän takaa vasta sellaisten päättelysääntöjen käyttäminen, joiden eheys (katso eheyslause alempana) on todistettu. Päättelysääntöjen sinänsä soveltaminen on ainoastaan uusien lauseiden johtamista jo oletetuista. Sen sijaan, jos tiettyjen päättelysääntöjen eheys on todistettu, voidaan päättelyn pätevyys todistaa jo pelkästään näihin päättelysääntöihin nojautuen. Eheydestä käytetään usein myös nimityksiä validius ja korrektisuus.

Aksioomat ...

Päättelysäännöt ...

Pari esimerkkiä ...

Totuusjakauma ja propositiolauseen totuusarvo

Määritelmä 3 Totuusjakauma $v\,\!$ on kuvaus $v:\mathbb {N} \to \{0,1\}\,\!$, jossa $1=_{df}\,\!$"tosi" ja $0=_{df}\,\!$"epätosi".

Määritelmä 4 Propositiosymbolien totuusarvo
$v(p_{i})=_{df}v(i)\,\!$.

Symboli $v\,\!$ esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella.

Esimerkki 5
Olkoon $v\,\!$ totuusjakauma siten, että
$v(i)=_{df}{\Bigg \{}\,\!$	$1$, jos $i<2$
	$0$ muuten.

Nyt $v(p_{0})=1,v(p_{1})=1,v(p_{2})=0,v(p_{3})=0,\ldots \,\!$

Propositiologiikan konnektiivit ovat totuusfunktionaalisia. Kutakin funktion määrittelyjoukon totuusarvoa, kaksipaikkaisten konnektiivien tapauksessa totuusarvoparia, vastaa arvojoukossa täsmälleen yksi totuusarvo. Selkeä tapa määritellä täsmällisesti konnektiivien merkitykset on totuusarvotaulukko.

Määritelmä 6 Konnektiivien totuusarvotaulukot

$A\,\!$	$B\,\!$	$\neg {}A\,\!$	$\neg {}B\,\!$	$(A\wedge {}B)\,\!$	$(A\vee {}B)\,\!$	$(A\to {}B)\,\!$	$(A\leftrightarrow {}B)\,\!$
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1

Negaatio vastaa luonnollisen kielen sanaa ei. Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio ei A on tosi jos (jos ja vain jos) lause A on epätosi.

Konjunktio vastaa luonnollisen kielen sanaa ja. Lauseiden A ja B konjunktio A ja B on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia.

Luonnollisen kielen 'tai'-sana on kaksiselitteinen. Joskus sitä käytetään inklusiivisesti, toisinaan taas eksklusiivisesti. Inklusiivisen 'tai'-sanan sisältävä ilmaisu on tosi, jos toinen tai molemmat vaihtoehdoista ovat tosia. Nykykielessä tällöin käytetään joskus sanontaa ”ja/tai”. Eksklusiivinen 'tai'-ilmaisu on tosi, jos vain toinen ilmaisuista on tosi mutta eivät molemmat. Logiikassa tällaista tulkinnanvaraisuutta ei ole, koska konnektiivien merkitykset määritellään täsmällisesti. Yleisempää on käyttää inklusiivista disjunktiota. Eksklusiivinen disjunktio voidaan kuitenkin määritellä seuraavasti: '$((A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B))\,\!$'.

Implikaatiolla ilmaistaan totuuden riittävää tai välttämätöntä edellytystä. Lauseen '$(A\to B)\,\!$' (luetaan: jos A niin B) mukaan $A\,\!$ on $B\,\!$:n riittävä edellytys ja $B\,\!$ $A\,\!$:n välttämätön edellytys.

Ekvivalenssi on tosi jos sen yhdistämien ilmaisujen totuusarvot ovat samat.

Määritelmien 4 ja 6 perusteella voidaan laskea minkä tahansa propositiolauseen totuusarvo millä tahansa totuusjakaumalla.

Esimerkki 7
Lasketaan propositiolauseen $\neg ((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1}))\,\!$ totuusarvo. Olkoon totuusjakauma $v\,\!$ kuten esimerkissä 5.
Määritelmän 4 nojalla $v(p_{0})=1,v(p_{1})=1,v(p_{2})=0\,\!$ ja $v(p_{3})=0\,\!$.
Määritelmän 6 toisen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan $v((p_{0}\wedge p_{2}))=0\,\!$.
Kolmannen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan $v((p_{3}\vee p_{1}))=1\,\!$.
Kolmannen rivin ja seitsemännen sarakkeen mukaan siis $v(((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1})))=1\,\!$.
Edelleen kolmannen sarakkeen mukaan $v(\neg ((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1})))=0\,\!$.

Totuustaulua voidaan käyttää myös apuvälineenä propositiolauseen totuusarvon laskemiseksi. Seuraavassa esimerkissä Arvo-riville on merkitty kunkin elementin totuusarvo ja Laskujärjestys-riville järjestys, jossa ne on merkitty.

Esimerkki 8 Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla

	$p_{0}\,\!$	$p_{1}\,\!$	$p_{2}\,\!$	$p_{3}\,\!$	$\neg \,\!$	$((p_{0}\,\!$	$\wedge \,\!$	$p_{2})\,\!$	$\to \,\!$	$(p_{3}\,\!$	$\vee \,\!$	$p_{1}))\,\!$
Arvo	1	1	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1
Laskujärjestys	1	1	1	1	5	2	3	2	4	2	3	2

Propositiolauseen totuus riippuu (tietenkin sen rakenteen ohella) ainoastaan propositiosymbolien totuusarvoista. Koska jokaisella oikein muodostetulla propositiolauseella on yksiselitteinen rakennepuu, voidaan propositiolauseen totuusarvo yksiselitteisesti laskea sen sisältämien propositiosymbolien totuusarvojen perusteella, kuten esimerkeistä 7 ja 8 nähdään. Jos propositiosymbolin totuusarvo tiedetään, niin se voidaan korvata esityksessä totuusarvollaan. Myös propositiosymbolia kompleksisempi propositiolauseen osa voidaan korvata totuusarvollaan.

Tautologia ja looginen seuraus

Klassisessa propositiologiikassa pätevät seuraavat lait:

• Principium exclusi terti (lat. kielletyn kolmannen laki), jonka mukaan jokainen lause on aina tosi tai epätosi.

• Principium exclusi contradictionis (lat. kielletyn ristiriidan laki), jonka mukaan mikään lause ei voi olla sekä tosi että epätosi.

Propositiologiikan täydellisyys- ja eheyslause

Propositiologiikan täydellisyyslauseen mukaan jos lause $A$ on tautologia, niin lauseella $A$ on luonnollinen päättely.

Propositiologiikan eheyslauseen mukaan jos lauseella $A$ on luonnollinen päättely oletuksista $B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}$; niin jos totuusjakaumalla $v$ pätee $v(B_{1})=v(B_{2})=\ldots =v(B_{n})=1$, niin $v(A)=1$.

Kun täydellisyyslause ja eheyslause yhdistettään, niin saadaan tuloksena seuraava lause: propositiolause $A$ on tautologia jos ja vain jos propositiolauseella $A$ on luonnollinen päättely.

Eheyslauseesta siis seuraa, että jos $A$:lla on luonnollinen päättely, niin lause $A$ on tautologia. Todistetaan tämä eheyslauseen avulla.

Todistus

Väite: Jos lauseella $A$ on luonnollinen päättely, niin lause $A$ on tautologia.

Tehdään vastaoletus: lauseella $A$ on luonnollinen päättely mutta lause $A$ ei ole tautologia. Tällöin on olemassa totuusjakauma $v$ siten, että $v(A)=0$, joten $v(\lnot A)=1$. Koska

${\begin{aligned}\{\lnot A\}&\vdash A\land \lnot A,\\\{A\land \lnot A\}&\vdash \lnot \lnot A\quad {\text{ja}}\\\{\lnot \lnot A\}&\vdash A,\quad {\text{niin}}\\\{\lnot A\}&\vdash A.\end{aligned}}$

Edellä sovellettiin luonnolisen päättelyn tunnettuja sääntöjä konjunktion tuonti, negaation tuonti ja negaation eliminointi.

Toisaalta eheyslauseen nojalla koska $\{\lnot A\}\vdash A$ ja $v(\lnot A)=1$, niin $v(A)=1$. Ollaan päädytty ristiriitaan, joten alkuperäinen väite pätee.

Täten lause $A$ on tautologia. $\square$

Konnektiivit ja loogiset portit

Elektroniikassa tärkeimpiä loogisia konnektiiveja vastaavat tietyt loogiset portit seuraavasti:

Konnektiivi	Yhdistetty lause	Looginen portti
negaatio	"ei A"	NOT-portti
konjunktio	"A ja B"	AND-portti
disjunktio	"A tai B tai molemmat"	OR-portti
eksklusiivinen disjunktio	"A tai B, mutta ei molemmat"	XOR-portti
Shefferin viiva	"ei A tai ei B"	NAND-portti
Peircen nuoli	"ei A eikä B"	NOR-portti

Katso myös

• Predikaattilogiikka
• Symbolinen logiikka

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Miettinen, Seppo K.: Logiikka: Perusteet. Helsinki: Gaudeamus, 2002. ISBN 951-662-865-6

Aiheesta muualla

• Klement, Kevin C.: Propositional Logic The Internet Encyclopedia of Philosophy. (englanniksi)