Avaa päävalikko

Predikaattilogiikka on symbolisen logiikan osa-alue, jolla tutkitaan tietynlaisia formaalikieliä. [1] Predikaattilogiikka jakautuu ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikkaan ja korkeampien kertalukujen predikaattilogiikoihin. Jälkimmäisten kohdalta mielenkiinto kohdistuu yleensä vain toisen kertaluvun predikaattilogiikkaan.

Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka, joskus lyhyemmin pelkästään predikaattilogiikka, tutkii kieliä, jotka mallintavat luonnollisen kielen subjekti-predikaattimuodon lauseita, loogisia operaatioita näillä lauseilla sekä näiden lauseiden yleistyksiä. Mallintaminen voi olla kiinnostavaa esimerkiksi matemaattisista, filosofisista tai kielitieteellisistä syistä. Esimerkkinä muutama predikaattilogiikan lause ja vastine luonnollisessa kielessä.

1. Pii on positiivinen

2. Jos pii on ei-positiivinen, niin kuu on juustoa

3. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia

Tarkempi kuvaus predikaattilogiikan kielestä löytyy alakohdasta syntaksi.

Toisen kertaluvun predikaattilogiikka ja korkeampien kertalukujen predikaattilogiikat eroavat ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikasta siinä, että jälkimmäisissä voidaan puhua olioiden ominaisuuksista (2. kl.), olioiden ominaisuuksien ominaisuuksista (3. kl.) ja niin edelleen.

Sisällysluettelo

SyntaksiMuokkaa

Syntaksi on se osa predikaattilogiikkaa, jossa kiinnostuksen kohteena ovat vain merkkijonot ja niiden ominaisuudet (ks. myös kalkyyli). Pelkästään syntaktisten piirteiden perusteella voidaan määritellä millaisia lauseet ovat ja millaista on pätevä päättely predikaattilogiikassa.

AakkostoMuokkaa

Määritelmä. Predikaattilogiikan aakkosto koostuu seuraavista symboleista:

Merkitys Merkintä
konnektiivit  
sulkeet  
kvanttorit  
identiteettisymboli  
relaatiosymbolit  
funktiosymbolit  
muuttujat  
yksilövakiot  

Predikaattilogiikassa merkitään lisäksi kaavamuuttujia symboleilla  , tai symboleilla A, B, ... .

KaavatMuokkaa

Määritelmä. Predikaattilogiikan termit

  1. Yksilövakiot ovat termejä.
  2. Muuttujat ovat termejä.
  3. Jos   ovat termejä, niin   on termi.

Määritelmä. Predikaattilogiikan kaavat
Olkoot   termejä.

  1.   on kaava.
  2. Jos   on n-paikkainen predikaattisymboli, niin   on kaava.
  3. Jos   on kaava, niin   on kaava.
  4. Jos   ja   ovat kaavoja, niin ...
  5. ...

PäättelyMuokkaa

Nyt voidaan esittää, millaista on pätevä päättely predikaattilogiikassa. Ajatuksena on, että kun tunnemme konnektiivit, tunnemme lauseiden deduktiiviset seuraukset.

Aikojen kuluessa on esitetty useita toisistaan hiukan poikkeavia päättelysysteemejä. Ehkä helpoimmin ymmärrettävissä on nk. luonnollisen päättelyn systeemi predikaattilogiikalle.

Luonnollinen päättelyMuokkaa

Luonnollisen päättelyn systeemissä päättelyn premissit kirjoitetaan viivan päälle, johtopäätös viivan alle. Päättelyjä voi yhdistää toisiinsa kirjoittamalla niitä peräkkäin. Luonnollisen päättelyn päättelysäännöt vastaavat tuonti- ja eliminointisäännöt kaikille konnektiiveille:

1. Negaation tuonti- ja eliminointisäännöt.

 

2. Konjunktion tuonti- ja eliminointisäännöt.

 

3. Kaikilla-kvanttorin tuonti- ja eliminointisäännöt.

 

Huomautuksia: *) Jos B on hylkäämätön oletus, se voidaan hylätä. **) Muuttuja x ei saa esiintyä vapaana missään kaavan A todistuksen hylkäämättömässä oletuksessa.

TodistusteoriaMuokkaa

Todistusteoria keskittyy lauseen syntaktiseen todistettavuuteen (eli johdettavuuteen tai päättelyyn) toisista lauseista tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Totuuden käsite on syntaktisen todistuksen suhteen merkityksetön. Tulkinta on totuuden välttämätön edellytys eikä todistettavien lauseiden ei tarvitse olla tulkittuja.

On tietenkin mielekästä, jos todistus on määritelty siten, että se on totuuden säilyttävää ja siis tosista lauseista voidaan todistaa vain tosia lauseita, mutta se on eri asia. Syntaktisen todistuksen tarkoituksena on ainoastaan johtaa jo saaduista lauseista, viime kädessä aksioomista uusia lauseita.

Todistusteorian tärkeitä nimiä: Gerhard Gentzen, David Hilbert.

Ks. myös Gentzenin luonnollisen päättelyn systeemi.

SemantiikkaMuokkaa

Malliteoriassa tarkastellaan kieltä semanttisesta näkökulmasta. Malli on joukko-opillinen struktuuri, joka toimii logiikan kaavojen tulkintana Tarskin totuusmääritelmän mukaisesti.

Tarskin totuusmääritelmä. Olkoon   aakkosto ja  -kaava. Olkoon  -struktuuri ja   sen tulkintajono, ts.  . Tällöin kaavan   totuus mallissa   tulkintajonolla  , merk.  , määritellään seuraavasti:

  1.  
  2.  
  3.   tai  
  4.   kaikilla  .

Jos   on joukko  -kaavoja ja   kaikilla  , niin merkitään  .

Malliteoriassa todistukselle rinnakkainen käsite on looginen seuraaminen. Jos kaikille niille malleille   ja tulkintajonoille  , joille pätee  , pätee myös  , sanotaan kaavan   seuraavan loogisesti kaavajoukosta  . Tämä merkitään  .

Malliteorian tärkeä nimi: Alfred Tarski.

Eheys- ja täydellisyyslauseetMuokkaa

Logiikassa pyritään eheään ja täydelliseen aksiomaattiseen järjestelmään. Eheydellä tarkoitetaan sitä, että tosista lauseista tietyn päättelysysteemin nojalla päätellyt lauseet ovat nekin tosia. Täydellisyydellä taas tarkoitetaan sitä, että kaikki ne lauseet, jotka ovat aina tosia tiettyjen lauseiden ollessa tosia, ovat jälkimmäisistä pääteltävissä. Jos tietty logiikan järjestelmä on sekä eheä että täydellinen, vastaavat todistusteoria ja malliteoria toisiaan tässä järjestelmässä.

Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan täydellisyyslauseen todisti ensimmäisenä Kurt Gödel vuonna 1930.

Predikaattilogiikan laajennuksiaMuokkaa

Predikaattilogiikka ja ohjelmointiMuokkaa

Logiikkaohjelmointi on ohjelmointiparadigma, jossa predikaattilogiikalla on keskeinen rooli. Logiikkaohjelmoinnin tärkein kieli on Prolog.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 321. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Allwood, Jens & Andersson, Lars-Gunnar & Dahl, Östen (1988): Logiikka ja kieli. 2. painos. Suomentanut Paavo Siro. Helsinki: Yliopistopaino. (1. painos 1980 Gaudeamuksen kustantamana. Alkuteos: Logik för lingvister, 1972. Suomennettu englanninkielisestä laitoksesta Logic in Linguistics, 1979.) ISBN 951-570-020-5