Diskreetti tasainen jakauma

Diskreetti tasainen jakauma (engl. discrete uniform distribution) eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.[1]

Diskreetti tasainen jakauma
Todennäköisyysfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio, kun n = 5
n = 5, missä n = b − a + 1
Kertymäfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio, kun n = 5
Merkintä tai tai
Parametrit

Määrittelyjoukko
Pistetodennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo
Mediaani
Moodi N/A
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia
Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio

Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.

MerkinnätMuokkaa

Satunnaisilmiö tuottaa n erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja   numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi

  [2]

missä parametri n määrittää perusjoukon   lukumäärään. Saman satunnaisilmiön modifioitu satunnaismuuttuja saa lukuarvot   ja se voidaan merkitä

  [2]

Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että

 

jolloin perusjoukossa   on   alkeistapausta.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat

  [3]

Tasaisia diskreettejä jakaumiaMuokkaa

Yleiset jakaumatMuokkaa

Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti  . Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.[1]

Esimerkki: KolikonheittoMuokkaa

Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin   ja jakaumaa merkitään  .[1]

Esimerkki: NopanheittoMuokkaa

Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos   on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko   ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä  . Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä   ja summa 2 todennäköisyydellä  . Jakaumaa merkitään esimerkiksi  .[1]

OminaisuuksiaMuokkaa

Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle  , jonka perusjoukon   suuruus on n.

TodennäköisyysfunktioMuokkaa

Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään

 

KertymäfunktioMuokkaa

Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä   olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta

 

Merkintä   tarkoittaa lattiafunktiota. Kun  , on  , ja kun  , on  . Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

OdotusarvoMuokkaa

Yleisessä tapauksessa odotusarvo   on

  [1]

joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on  , on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna

 ,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa   saadaan

 

Varianssi ja keskihajontaMuokkaa

Yleisessä tapauksessa varianssi   on

 

missä   on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla

 

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa

 .

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta

  [1]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e f Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 66–80. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  2. a b Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  3. Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014

Aiheesta muuallaMuokkaa