Diskreetti tasainen jakauma

Diskreetti tasainen jakauma (engl. discrete uniform distribution) eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.

Diskreetti tasainen jakauma

Todennäköisyysfunktio n = 5, missä n = b − a + 1
Kertymäfunktio
Merkintä	$DU(a,b)$ tai ${\mathcal {U}}(a,b)$ tai $\mathrm {unif} (a,b)$
Parametrit	$a\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )\,$ $b\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ),b\geq a$ $n=b-a+1\,$
Määrittelyjoukko	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}\,$
Pistetodennäköisyysfunktio	${\frac {1}{n}}$
Kertymäfunktio	${\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}$
Odotusarvo	${\frac {a+b}{2}}\,$
Mediaani	${\frac {a+b}{2}}\,$
Moodi	N/A
Varianssi	${\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}$
Vinous	$0\,$
Huipukkuus	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,$
Entropia	$\ln(n)\,$
Momentit generoiva funktio	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,$
Karakteristinen funktio	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}$

Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.

Merkinnät

Satunnaisilmiö tuottaa n erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja $X$ numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi

$X\sim DU(n),$

missä parametri n määrittää perusjoukon $\Omega =\{1,2,3,...,n\}$ lukumäärään. Saman satunnaisilmiön modifioitu satunnaismuuttuja saa lukuarvot $\Omega =\{0,1,2,...,n\}$ ja se voidaan merkitä

$X\sim ModDU(n).$

Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että

$X\sim DU(a,b),$

jolloin perusjoukossa $\Omega =\{a,a+1,...,b-1,b\}$ on $n=b-a+1$ alkeistapausta.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat

$X\sim DU(n)\sim Du(n)\sim U(n)\sim \mathrm {unif} (n).$

Tasaisia diskreettejä jakaumia

Yleiset jakaumat

Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti $\Omega =\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}$. Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.

Esimerkki: Kolikonheitto

Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin ${\tfrac {1}{2}}$ ja jakaumaa merkitään $X\sim ModDU(1)\sim DU(0,1)$.

Esimerkki: Nopanheitto

Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos $X$ on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko $\{1,2,3,4,5,6\}$ ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä ${\tfrac {1}{6}}$. Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä ${\tfrac {1}{6}}$ ja summa 2 todennäköisyydellä ${\tfrac {1}{36}}$. Jakaumaa merkitään esimerkiksi $X\sim DU(6)\sim DU(1,6)$.

Ominaisuuksia

Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle $X\sim DU(a,b)$, jonka perusjoukon $\Omega$ suuruus on n.

Todennäköisyysfunktio

Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään

$P(X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x\in \Omega \\0,&{\mbox{muulloin}}\end{cases}}$

Kertymäfunktio

Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä $[a,b]$ olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta

$F(x)=P(X\leq x)={\frac {\lfloor x\rfloor -a+1}{b-a+1}}.$

Merkintä ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ tarkoittaa lattiafunktiota. Kun $x<a$, on $F(x)=0$, ja kun $x>b$, on $F(x)=1$. Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

Odotusarvo

Yleisessä tapauksessa odotusarvo $\mu$ on

$\operatorname {E} (X)=\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},$

joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on $Y\sim DU(a,b)$, on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna

$\operatorname {E} (Y)={\frac {a+b}{2}}$,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa $Z\sim DU(n)$ saadaan

$\operatorname {E} (Z)={\frac {n+1}{2}}.$

Varianssi ja keskihajonta

Yleisessä tapauksessa varianssi $\sigma ^{2}$ on

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\right),$

missä $\mu$ on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla

$\operatorname {Var} (Y)={\frac {(b-a+2)(b-a)}{12}}={\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}$

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa

$\operatorname {Var} (Z)={\frac {n^{2}-1}{12}}$.

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta

$\sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}.$

Aiheesta muualla

• Weisstein, Eric W.: Discrete Uniform Distributionn (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)