Cauchyn integraalilause

Cauchyn integraalilause on yksi matemaattisen kompleksianalyysin perustavimmista lauseista. Se koskee holomorfisten funktioiden viivaintegraalia kompleksitasolla. Oleellisesti se sanoo, että jos kaksi pistettä yhdistetään toisiinsa kahdella eri polulla ja jokin funktio on holomorfinen kaikkialla näiden polkujen välisellä alueella, molemmat viivaintegraalit saavat saman arvon. Lause on nimetty Augustin-Louis Cauchyn mukaan.

Lauseen muotoilu

Lause muotoillaan tavallisesti seuraavasti: Olkoon U $\mathbb {C}$:n yhdesti yhtenäinen avoin osajoukko ja f: U ? $\mathbb {C}$ holomorfinen funktio ja $\!\,\gamma$ joukossa U kulkeva suoristuva polku, jonka päätepiste on sama kuin alkupiste. Silloin f:n viivaintegraali tämän polun yli on nolla:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

Cauchyn integraalilause voidaan yhtäpitävästi muotoilla myös niin, että yhdesti yhtenäisessä alueessa analyyttisen funktion käyräintegraali pisteestä a pisteeseen b on sama kaikilla käyrillä tai poluilla, jotka johtavat pisteestä a pisteeseen b.

Että alue U on yhdesti yhtenäinen, merkitsee intuitiivisesti, että siinä ei ole "reikiä" keskellä. Täsmällisemmin käsite voidaan määritellä homotopian avulla. Alue on yhdesti yhtenäinen, jos siinä jokainen umpinainen polku eli polku, jonka päätepiste on sama kuin alkupiste, voidaan jatkuvasti muuntaa pisteeksi. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että alueen perusryhmä on triviaali ryhmä. Esimerkiksi kaikki kiekot sekä kompleksitasossa kahden yhdensuuntaisen suoran väliin jäävät alueet ovat yhdesti yhtenäisiä, samoin kaikki alueet, jotka ovat homeomorfisia jonkin tällaisen alueen kanssa. Sen sijaan esimerkiksi rengasmainen, kahden sisäkkäisen ympyrän väliin jäävä alue alue $\{z\in \mathbb {C} |1<|z|<2\}$, ei ole yhdesti yhtenäinen.

Lauseen edellytykset

Cauchy todisti integraalilauseen funktioille, jotka hänen käyttämänsä määritelmän mukaan olivat analyyttisiä. Hänen käyttämäänsä määritelmään ei kuulunut ainoastaan, että funktiolla on derivaatta, vaan myös että sen reaali- ja imaginaariosan osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Hänen todistamassaan muodossa lause päti ainoastaan tällä edellytyksellä. Myöhemmin Édouard Goursat todisti keksimänsä apulauseen, Goursat'n lemman avulla, että lause pätee jokaiselle kompleksitason kompleksiarvoiselle funktiolle, jolla on derivaatta kaikkialla jollakin alueella. Vasta näin todistetun Cauchyn integraalilauseen yleisemmän version avulla voidaan todistaa, että kompleksitasossa jokaisella funktiolla, jolla on derivaatta jollakin alueella, osittaisderivaatat ovat jatkuvat ja funktiolla on kaikkien kertalukujen derivaatat. Nykyisin kompleksitasossa onkin tapana määritellä analyyttinen eli holomorinen funktio funktioksi, jolla on derivaatta; Cauchyn integraalilause pätee kaikille tällaisille funktioille.

Ehto, että alue U on yhdesti yhtenäinen, on kuitenkin oleellisen tärkeä. Esimerkkinä voidaan tarkastella polkua

$\gamma (t)=e^{it}\quad t\ \in \left[0,2\pi \right]$,

jonka jälki on yksikköympyrä, ja käyräintegraalia

$\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i$

joka siis ei ole nolla. Cauchyn integraalilause ei päde tällaiselle funktiolle, koska $f(z)=1/z$ ei ole määritelty origossa. Laajin alue, jossa funktio $f(z)$ on määritelty, onkin $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, joka ei ole yhdesti yhtenäinen, koska siinä on "reikä" origossa.

Lauseen merkitys

Cauchyn integraalilause on kompleksianalyysin keskeisimpiä tuloksia. Sen avulla voidaan todistaa monia muita tärkeitä tuloksia kuten

• Cauchyn integraalikaava, jonka avulla voidaan laskea funktion arvot alueen sisällä, jos tunnetaan sen arvot alueen reunalla
• residylause, jonka avulla voidaan määrittää annetun funktion määrättyjä integraaleja
• maksimiperiaate, jonka mukaan analyyttisen funktion reaali- tai imaginaariosa (jotka ovat harmonisia funktioita) saavat alueeseen kuuluvassa kompaktissa osajoukossa suurimman ja pienimmän arvonsa alueen reunalla
• argumentin periaate, jonka mukaan kierrettäessä umpinaista käyrää funktion argumentti muuttuu määrän $2\pi (N-P)$, missä N on funktion nollakohtien ja P napojen lukumäärä käyrän sisäpuolelle jäävällä alueella; sekä
• Liouvillen lause, jonka mukaan koko kompleksitasossa määritelty holomorfinen funktio on rajoitettu vain, jos se on vakio.

Liouvillen lauseesta seuraa suoraan myös algebran peruslause, jonka mukaan kompleksitasossa jokaisella polynomilla, joka ei ole vakio, on ainakin yksi nollakohta. Tämän tosin Karl Friedrich Gauss oli jo vuonna 1799 todistanut toisin keinoin, käyttämättä kompleksianalyysin tuloksia.

Käänteislause

Cauchyn integraalilauseen käänteislause on Moreran lause. Sen mukaan jos funktio f on jatkuva alueessa U ja jos

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

jokaisella alueen U umpinaisella paloittain säännölliselle polulle $\gamma$, niin f on holomorfinen alueessa U.

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. 141, 10. painos. Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5.

Aiheesta muualla

• Cauchy Integral Theorem Wolfram MathWorld.
• Anil Pedgaonkars Mathematics computer notes sites.google.com. Arkistoitu 25.10.2015. Viitattu 1.3.2016.