Avaa päävalikko
Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.

Topologiassa kahden jatkuvan funktion sanotaan olevan homotooppisia keskenään, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.[1] Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiassa.

Sisällysluettelo

Matemaattinen määritelmäMuokkaa

Kahden jatkuvan funktion   ja   välinen homotopia on jatkuva funktio   siten, että   ja  . Tällöin kuvauksia   ja   kutsutaan homotopia ekvivalenteiksi tai vain homotooppisiksi keskenään.[1] Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

OminaisuuksiaMuokkaa

Homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle.[1] Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos   ja   ovat homotooppisia ja   ovat homotooppisia, on näiden yhdistetyt kuvaukset   ja   myös homotooppisia.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotooppisia, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit homologiaryhmien välille ovat samat:   kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, kuvaukset f ja g indusoivat saman ryhmähomomorfismin homotopiaryhmien välille:  .

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

IsotopiaMuokkaa

Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

MääritelmäMuokkaa

Upotukset   ovat isotooppisia, jos on olemassa upotus   siten että  ,   ja  .

LähteetMuokkaa

  1. a b c Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 88–89. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.