Moreran lause

Kompleksianalyysissä Moreran lauseen mukaan alueessa D määritelty jatkuva kompleksiarvoisen funktion f integraali pitkin kaikkia umpinaisia paloittain säännöllisiä polkuja. Siis

kaikilla D:n umpinaisilla paloittain säännöllisillä poluilla. Siten jos f on yksinkertainen suljettu käyrä, on f holomorfinen jokaisessa D:n pisteessä.

TodistusMuokkaa

 

kaikilla umpinaisilla säännöllisillä poluilla C. Siten jokaiselle kahdelle yksinkertaiselle käyrälle γ1 ja γ2 D:n sisällä, joka alkaa pisteestä z0 ∈ D ja loppuu pisteeseen z ∈ D, on voimassa

 

joten

 

on olemassa. Tämä on holomorfinen funktio ja

 

on myös holomorfinen.

KäyttöMuokkaa

Moreran lausetta voidaan käyttää osoittamaan summista tai integraaleista koostuvien funktioiden analyyttisyys. Esimerkkeinä tästä on Riemannin zeeta-funktio

 

ja Gammafunktio

 

Moreran lause antaa myös nopean todistuksen sille, että jono fn(z) analyyttisiä funktioita kompleksitason avoimessa joukossa D suppenee kohti funktiota f(z) tasaisesti jokaisessa kompaktissa osajoukossa K, on f analyyttinen. Ehto voidaan helposti rajoittamaan tapaukseen, missä K on suljettu kiekko.