Maxwellin–Boltzmannin jakauma
Maxwellin–Boltzmannin jakauma (Maxwellin–Boltzmannin statistiikka, MB-statistiikka) on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.
Tiheysfunktio![]() | |
Kertymäfunktio![]() | |
Parametrit | |
---|---|
Määrittelyjoukko | |
Tiheysfunktio | |
Kertymäfunktio | missä erf on virhefunktio |
Odotusarvo | |
Moodi | |
Varianssi | |
Vinous | |
Huipukkuus | |
Entropia |
Yleinen Maxwellin jakaumaMuokkaa
Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa
missä
- π on vakio pii
- on Neperin luku
- on vakio, joka yli 0
- on esimerkiksi hiukkasten nopeus
Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan
missä on virhefunktio.
Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulleMuokkaa
Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa
eli
tai
missä
- on nopeudella liikkuvien kaasumolekyylien osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
- on keskimääräinen molekyylimassa kilogrammoina
- on Boltzmannin vakio 1,3806503*10-23 JK-1
- on lämpötila Kelvineinä
- on kaasumolekyylin vauhti
- on yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
- on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksiaMuokkaa
Yleisin kaasuosasen nopeus lasketaan kaavasta
missä
- Boltzmannin vakio
- lämpötila
- molekyylimassa
- yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
- yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus
Kvanttiteoreettiset jakaumatMuokkaa
Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle. Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Maxwellin–Boltzmannin jakauma saadaan niistä kummastakin kuitenkin rajatapauksena silloin, kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon.
Katso myösMuokkaa
LähteetMuokkaa
- Paakkari, T.: Termofysiikka. s. 107–113. Limes ry, 1997.
Aiheesta muuallaMuokkaa
- Maxwellin jakauma MathWorld (englanniksi)