Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista .kenen mukaan? Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa . Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon . Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti .
Virhefunktion kuvaaja
Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisinlähde? määritelmä on
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
Virhefunktion ominaisuuksia
muokkaa
Virhefunktio on pariton funktio
erf
(
−
x
)
=
−
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)\,}
ja jos funktion argumentti on kompleksiluku , kompleksikonjugaatille on voimassa
erf
(
z
∗
)
=
(
erf
(
z
)
)
∗
{\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=(\operatorname {erf} (z))^{*}\,}
.
Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on
erf
(
x
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
n
!
=
2
π
(
x
−
x
3
3
+
x
5
10
−
x
7
42
+
x
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä
d
d
x
erf
(
x
)
=
2
π
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla
d
n
d
x
n
erf
(
x
)
=
(
−
1
)
n
−
1
2
π
H
n
−
1
(
x
)
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {erf} (x)=(-1)^{n-1}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}H_{n-1}(x)e^{-x^{2}}}
,
missä
H
k
(
x
)
{\displaystyle H_{k}(x)}
on
k
{\displaystyle k}
:s Hermiten polynomi . Virhefunktiolla on myös integraali
∫
erf
(
x
)
d
x
=
x
erf
(
x
)
+
e
x
2
π
{\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)dx=x\;\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä
erf
−
1
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
2
n
+
1
(
π
2
x
)
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}}
,
missä
c
n
=
∑
m
=
0
n
−
1
c
m
c
n
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
,
c
0
=
1
{\displaystyle c_{n}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {c_{m}c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}},\;c_{0}=1}
Virhefunktio ja normaalijakauma
muokkaa
Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion
Φ
(
x
)
{\displaystyle \Phi (x)}
välillä on yhteys:
e
r
f
(
x
)
=
2
Φ
(
x
)
−
1
{\displaystyle erf(x)=2\Phi (x)-1}
,
Φ
(
x
)
=
erf
(
x
)
+
1
2
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {\operatorname {erf} (x)+1}{2}}}
.
Molempien funktioiden raja-arvo , kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta
lim
x
→
−
∞
Φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\Phi (x)=0}
,
kun taas
lim
x
→
−
∞
erf
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {erf} (x)=-1}
Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.
Virhefunktion komplementin kuvaaja.
Virhefunktion komplementti määritellään
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)\,}
tai yhtäpitävästi integraalina
erfc
(
x
)
=
∫
x
∞
e
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=\int _{x}^{\infty }e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t}
.
ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
−
2
y
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-2y=0}
.
Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa
d
d
x
erfc
(
x
)
=
−
2
π
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia
∫
erfc
(
x
)
d
x
=
x
erfc
(
x
)
−
e
−
x
2
π
{\displaystyle \int \operatorname {erfc} (x)dx=x\;\operatorname {erfc} (x)-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}