Avaa päävalikko
Virhefunktion kuvaaja

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista.kenen mukaan? Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisinlähde? määritelmä on

Virhefunktion ominaisuuksiaMuokkaa

Virhefunktio on pariton funktio

 

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

 .

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

 

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

 

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

 ,

missä   on  :s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

 

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

 ,

missä

 

Virhefunktio ja normaalijakaumaMuokkaa

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion   välillä on yhteys:

 ,
 .

Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta

 ,

kun taas

 

Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementtiMuokkaa

 
Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementti määritellään

 

tai yhtäpitävästi integraalina

 .

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

 .

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

 

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

 

Aiheesta muuallaMuokkaa