Avaa päävalikko

Maxwellin–Boltzmannin jakauma

Maxwellin–Boltzmannin jakauma (Maxwellin–Boltzmannin statistiikka, MB-statistiikka) on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.

Maxwell–Boltzmann
Tiheysfunktio
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
Kertymäfunktio
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
Parametrit
Määrittelyjoukko
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio missä erf on virhefunktio
Odotusarvo
Moodi
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia

Yleinen Maxwellin jakaumaMuokkaa

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa

 

missä

  • π on vakio pii
  •   on Neperin luku
  •   on vakio, joka yli 0
  •   on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

 

missä   on virhefunktio.

Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulleMuokkaa

 
Maxwell-Boltzmannin jakauma

Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

 

eli

 

tai

 

missä

  •   on nopeudella   liikkuvien kaasumolekyylien osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
  •   on keskimääräinen molekyylimassa kilogrammoina
  •   on Boltzmannin vakio 1,3806503*10-23 JK-1
  •   on lämpötila Kelvineinä
  •   on kaasumolekyylin vauhti  
  •   on yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
  •   on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla

Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksiaMuokkaa

Yleisin kaasuosasen nopeus   lasketaan kaavasta

 

missä

  •   Boltzmannin vakio
  •   lämpötila
  •   molekyylimassa
  •   yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
  •   yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

 

Kvanttiteoreettiset jakaumatMuokkaa

Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle. Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Maxwellin–Boltzmannin jakauma saadaan niistä kummastakin kuitenkin rajatapauksena silloin, kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Paakkari, T.: Termofysiikka. s. 107–113. Limes ry, 1997.

Aiheesta muuallaMuokkaa