Logaritminen spiraali

Logaritminen spiraali eli tasakulmainen spiraali[1] on itsesimilaarinen spiraalimainen käyrä, joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä Descartes, ja sen ominaisuuksia tutki myöhemmin tarkemmin Jakob Bernoulli, joka antoi sille nimen Spira mirabilis ’ihmeellinen spiraali’.

Logaritminen spiraali (vakiokulma 10°)
Nautilus-helmiveneen kuoren poikkileikkaus, joka on suunnilleen logaritmisen spiraalin muotoinen. Sinisellä merkityn logaritmisen spiraalin kasvuparametri on b = 0,1759.
Romanesco -parsakaalin kukinto, joka kasvaa logaritmisena spiraalina
Mandelbrotin joukon osa, joka seuraa logaritmista spiraalia.
Islannin ympärillä oleva sykloni, jossa pilvet muodostavat likipitäen logaritmisia spiraaleja.
Kierteisgalaksin haarat ovat usein logaritmisen spiraalin muotoisia. Kuvassa Pyörregalaksi Messier 51.
Monikulmiospiraali

Käyrän yhtälöMuokkaa

Napakoordinaatistossa ( ) logaritmisen spiraalin yhtälö on

 

tai

 

missä e on Neperin luku, ja a ja b ovat vakiona pysyviä positiivisia reaalilukuja.

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan esittää parametrimuodossa:

 
 

missä   ja   ovat reaalisia vakioita.

Logaritmisella spiraalilla on se huomattava ominaisuus, että sen jokaisessa pisteessä käyrän tangentin muodostaa yhtä suuren kulman spiraalin keskuksesta eli navasta[1] alkavan puolisuoran kanssa. Tämän vakiokulman f ja käyrän yhtälössä esiintyvän vakion b välillä on yhteys:

  eli
 

Differentiaaligeometrian käsittein tämä yhteys voidaan ilmaista seuraavasti:

 

missä r ja   ovat käyrän mielivaltaisen pisteen napakoordinaatit.

Lausekkeen   derivaatta on verrannollinen parametriin  . Toisin sanoen se ilmoittaa, kuinka "tiheästi" ja kumpaan suuntaan spiraali kiertyy. Rajatapauksessa, kun   ( ), spiraalista tulee  -säteinen ympyrä. Toisaalta kun  :n annetaan kasvaa rajattomasti (f -> 0), spiraali lähestyy puolisuoraa. Kulman f komplementtikulmaa sanotaan spiraalin kaltevuus­kulmaksilähde? (engl. pitch).

Spira mirabilis ja Jacob BernoulliMuokkaa

Logaritmisesta spiraalista käytetään myös latinalaista nimeä Spira mirabilis, "ihmeellinen spiraali". Vaikka muut matemaatikot olivat tutkineet sitä jo aikaisemmin, tämän nimen käyrälle antoi Jacob Bernoulli,[1] koska häntä kiehtoivat sen ainutlaatuiset matemaattiset ominaisuudet: jokaisella kierroksella keskuksen ympäri spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana. Tätä ominaisuutta sanotaan itse­similaari­suu­deksi. Mahdollisesti juuri tämän ainut­laatuisen ominaisuutensa vuoksi spira mirabilis esiintyy monessa yhteydessä elollisessa luonnossa, esimerkiksi nautilus-helmiveneiden kuorissa ja auringonkukan mykerössä. Jacob Bernoulli ilmoitti toivomuksenaan, että hänen hautakiveensä kaiverrettaisiin logaritminen spiraali ja lause Eadem mutata resurgo ("Nousen jälleen muuttuneena ja silti ennallani"), mutta väärin­käsityksen vuoksi siihen kaiverrettiinkin Arkhimedeen spiraali.[1]

OminaisuudetMuokkaa

Logaritminen spiraali eroaa Arkhimedeen spiraalista siinä, että käyrän ja sen keskuksesta lähtevän puolisuoran leikkauspisteiden väliset etäisyydet kasvavat keskuksesta etäännyttäessä geometrisen sarjan mukaan, kun taas Arkhimedeen spiraalissa tämä etäisyys on vakio. Jos sitä skaalataan origo skaalauskeskuksena tekijällä  , missä b on kokonaisluku, se kuvautuu itselleen; jos skaalaustekijä on jokin muu, saadaan sama käyrä, joka saataisiin myös kiertämällä sitä origon ympäri jonkin kulman verran. Logaritminen spiraali on myös yhtenevä involuuttansa, evoluuttansa ja keskuksensa suhteen muodostetun pedaalikäyränsä kanssa.

Lähtemällä pisteestä   ja etenemällä spiraalia pitkin sisäänpäin sen keskus voidaan kiertää rajattoman monta kertaa ilman, että sitä koskaan saavutaan. Kuitenkin tämän käyrän osan pituus on äärellinen, tai tarkemmin sanottuna sen pituuden raja-arvo, kun  , on äärellinen. Tämän totesi ensimmäisenä Evangelista Torricelli jo ennen kuin differentiaali- ja integraalilaskenta keksittiin.[2] Tarkemmin sanottuna spiraalin tämän osan pituus on  , missä   on pisteen   etäisyys origosta suoraa pitkin mitattuna.

Kompleksitasossa eksponenttifunktio kuvaa kaikki suorat, jotka eivät ole reaali- eivätkä imaginaariakselin suuntaisia, logaritmisille spiraaleille, joiden keskus on origossa. Kääntäen jokainen tällainen logaritminen spiraali saadaan jonkin suoran kuvaksi eksponentti­funktiolla. Kuvana saatavan spiraalin kaltevuus­kulma on alku­peräisen suoran ja imaginaari­akselin välinen kulma.

Funktio  , missä   on kompleksiluku, jonka imaginaariosa ei ole nolla, kuvaa kompleksi­tason reali­akselin logaritmiselle spiraalille.

Kultainen spiraali on logaritminen spiraali, jonka pisteiden etäisyys kasvaa kultaisen leikkauksen suhteessa kierrettäessä origon ympäri 90 astetta. Sen kaltevuus­kulma on noin 13,03239 astetta. Sitä voidaan approksimoida "Fibonaccin spiraalilla", joka muodostuu sarjasta ympyrän kehän neljänneksiä, joiden säteet ovat verrannollisia Fibonaccin lukujonon lukuihin.

Logaritminen spiraali luonnossaMuokkaa

Useissa luonnon­ilmiöissä esiintyy käyriä, jotka ovat ainakin liki­pitäen logaritmisen spiraalin muotoisia. Esimerkiksi muuttohaukka lähestyy saalistaan logaritmista spiraalia myöten. Se näkee tarkimmin suuntaan, joka muodostaa tietyn suuruisen kulman sen lento­suuntaan nähden; kun se pitää lentosuuntansa ja saaliin suunnan välisen kulman vakinaisesti tämän suuntaisena, lentoreitiksi muodostuu logaritminen spiraali, jonka kaltevuus­kulma on kyseisen kulman suuruinen.[3][1]

Hyönteiset lähestyvät usein keino­tekoisia valon­lähdeitä logaritmisen spiraalin muotoista reittiä pitkin. Luonnossa ne suunnistautuvat siten, että lentosuunnan ja valonlähteen suunnan välinen kulma pysyy vakiona. Luonnossahan yleensä ainoa valon lähde on aurinko tai yöllä lentävien lajien tapauksessa kuu. Molemmat ovat niin kaukana, että hyönteisen lentäessä suoraan valonlähteen suunnan ja hyönteisen lentosuunnan välinen kulma pysyy käytännössä vakiona. Kun keino­tekoiset valon­lähteet kuitenkin ovat paljon lähempänä, ne voivat harhauttaa hyönteisen kiertämään niitä spiraalimaista reittiä myöten.[4]

Lähellä logaritmista spiraalia ovat muodoltaan myös:

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Logarithmic spiral

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b c d e Alex Bellos: ”8. luku, Kultasormi”, Kiehtova matematiikka, Seikkailu numeroiden ihmemaassa, s. 293-295. Suomentanut Eero Sarkkinen. Bookwell Oy, 2011. ISBN 978-951-0-37676-8.
  2. Carl Benjamin Boyer: The history of the calculus and its conceptual development, s. 133. Courier Dover Publications, 1949. ISBN 978-0-486-60509-8. Teoksen verkkoversio.
  3. Organismal Biology: Flying Along a Logarithmic Spiral. Science, 2000, nro 290. Artikkelin verkkoversio.
  4. John Himmelman: Discovering Moths: Nighttime Jewels in Your Own Backyard, s. 63. Down East Enterprise Inc. 978-0-89272-528-1. Teoksen verkkoversio.
  5. G. Bertin, C. C. Lin: Spiral structure in galaxies: a density wave theory, s. 78. MIT Press, 1996. 978-0-262-02396-2. Teoksen verkkoversio.
  6. David J. Darling: The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, s. 188. John Wiley & Sons, 2004. ISBN 978-0-471-27047-8. Teoksen verkkoversio.
  7. Transgenic corneal neurofluorescence in mice: a new model for in vivo investigation of nerve structure and regeneration. Invest Ophthalmol Vis Sci., huhtikuu 2007, nro 48(4), s. 1535-42.
  8. Andrew Gray: Treatise on physics, vol. 1, s. 356–357. Churchill, 2901. Teoksen verkkoversio.
  9. Michael Cortie, István Hargittai, Clifford A. Pickover: The form, function, and synthesis of the molluscan shell, s. 370. World Scientific, 1992. Teoksen verkkoversio.
  10. Anton Micallef: Beach management: principles and practice, s. 14. Earthscan, 2009. ISBN 978-1-84407-435-8. Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muuallaMuokkaa