Keplerin kolmio

Keplerin kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka pidemmän kateetin suhde lyhyempään on sama kuin hypotenuusan suhde pidempään kateettiin. Sivujen pituuksien suhteet liittyvät kultaiseen leikkaukseen:

Keplerin kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka muodostavat kolme neliötä, joiden alojen suhteet noudattavat kultaista leikkausta.

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

ja voidaan kirjoittaa: $1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi ,$ tai likiarvoin: 1 : 1,272 : 1,618.

Kun kolmion sivuille piirtää neliöt, niiden alat (katso kuva) noudattavat kultaista leikkausta.

Keplerin kolmiot on nimetty saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Johannes Keplerin (1571–1630) mukaan. Hän osoitti ensimmäisenä, että kolmion määrittelevä hypotenuusan ja lyhyen kateetin suhde vastaa kultaista leikkausta. Keplerin kolmio yhdistää toisiinsa Pythagoraan lauseen ja kultaisen leikkauksen, mikä kiehtoi kovasti Kepleriä:

»Geometrialla on kaksi suurta aarretta: toinen on Pythagoraan lause ja toinen kultainen suhde. Edellistä voimme verrata kasaan kultaa, jälkimmäistä voimme kutsua arvokkaaksi jalokiveksi. »
( Johannes Kepler)

Jotkin lähteet väittävät, että Kheopsin pyramidin muodosta voidaan tunnistaa kolmio, jonka mittasuhteet ovat hyvin lähellä Keplerin kolmiota.

Todistus

Kolmio, jonka sivujen pituudet ovat $1$, ${\sqrt {\varphi }}$ ja $\varphi$ voidaan osoittaa suorakulmaiseksi kirjoittamalla kultaiselle leikkaukselle oleellinen toisen asteen yhtälö:

${\varphi }^{2}=\varphi +1$

Pythagoraan lauseen muotoon:

$(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.$

Yhteys aritmeettiseen keskiarvoon, geometriseen keskiarvoon ja harmoniseen keskiarvoon

Positiivisten reaalilukujen a ja b aritmeettinen keskiarvo, geometrinen keskiarvo sekä harmoninen keskiarvo muodostavat suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet, jos ja vain jos kolmio on Keplerin kolmio.

Keplerin kolmion kostruointi

Keplerin kolmio voidaan konstruoida kultaisen suorakulmion avulla.

Keplerin kolmio voidaan konstruoida harpilla ja viivaimella piirtämällä ensin kultainen suorakulmio:

1. Konstruoi neliö.
2. Piirrä jana neliön yhden sivun puolivälistä vastakkaiseen kulmaan.
3. Käytä janaa säteenä piirtäessäsi kaarta, joka määrittää suorakulmion korkeuden.
4. Täydennä kultaiseksi suorakulmioksi.
5. Käytä kultaisen suorakulmion pidempää sivua piirtäessäsi kaarta, joka leikkaa vastakkaisen puolen suorakulmiosta ja määrää Keplerin kolmion hypotenuusan.

Matemaattinen yhteensattuma

Kun tarkastellaan mitä tahansa Keplerin kolmiota, jonka sivujen pituudet ovat $a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,$ ja

• piirretään kolmion kärkien kautta kulkeva ympyrä ja
• piirretään neliö, jonka särmän pituus on yhtä suuri kolmion pidemmän kateetin kanssa,

saadun neliön piiri ($4a{\sqrt {\varphi }}$) on likipitäen yhtä suuri kuin ympyrän kehän pituus ($a\pi \varphi$) – ne poikkeavat toisistaan vähemmän kuin 0,1 %.

On kyse matemaattisesta yhteensattumasta: $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}$. Jos tämä pätisi tarkalleen, kultaisen kolmion avulla voitaisiin neliöidä ympyrä. Kysymystä siitä, voidaanko ympyrä neliöidä pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä, pohdittiin jo vanhalla ajalla, mutta se myöhemmin se on todistettu mahdottomaksi. Toisin sanoen $\pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}$, sillä $\pi$ on transsendenttiluku.

Joidenkin lähteiden mukaan Keplerin kolmioita voidaan nähdä egyptiläisten pyramidien muotoilussa. Muinaiset egyptiläiset tuskin kuitenkaan tunsivat matemaattista yhteensattumaa piin ja kultaisen leikkauksen välillä.

Katso myös

• Kultainen kolmio