Toisen asteen yhtälö

Polynomiyhtälö matematiikassa

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on kun .

Toisen asteen käyriä diskriminantin arvoilla >0, =0 ja <0.

Kun , on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, ja negatiivisilla arvoilla vastaavasti alaspäin aukeava.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaMuokkaa

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

 .

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin   arvosta seuraavasti:

jos  , yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta   ja  
jos  , yhtälöllä on kaksoisjuuri   eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
jos  , yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta, mutta on kaksi kompleksista juurta  , jotka ovat toistensa liittoluvut.

Ratkaisukaavan johtaminenMuokkaa

Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö

 .

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:

 .

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä  .

 

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille   saadaan

 

ja lopulta

 .

Suppea normaalimuotoMuokkaa

 

Juurien summa ja tuloMuokkaa

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön   juurten   ja   summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):

  •  
  •  .

Mikäli  , saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:

  •  
  •  .

LähteetMuokkaa

  • Seppänen, Raimo; Tiihonen, Seppo; Wuolijoki, Hilkka: ”Matematiikka: Kaavoja ja määritelmiä”, Maol-taulukot, s. 22. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.