Toisen asteen yhtälö
Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on kun .
Kun , on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, ja negatiivisilla arvoilla vastaavasti alaspäin aukeava.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaMuokkaa
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:
- .
Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin arvosta seuraavasti:
- jos , yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta ja
- jos , yhtälöllä on kaksoisjuuri eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
- jos , yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta, mutta on kaksi kompleksista juurta , jotka ovat toistensa liittoluvut.
Ratkaisukaavan johtaminenMuokkaa
Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö
- .
Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:
- .
Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä .
Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille saadaan
ja lopulta
- .
Ratkaisukaavan johtamisella on pyritty tekemään toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen mahdolliseksi myös niille, joille tavallisenkin toisen asteen yhtälön ratkaiseminen olisi liian vaativaa.
Suppea normaalimuotoMuokkaa
Juurien summa ja tuloMuokkaa
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön juurten ja summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):
- .
Mikäli , saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:
- .
LähteetMuokkaa
- Seppänen, Raimo; Tiihonen, Seppo; Wuolijoki, Hilkka: ”Matematiikka: Kaavoja ja määritelmiä”, Maol-taulukot, s. 22. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.