Vietan kaavat

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540–1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa.

KaavatMuokkaa

Polynomilla, jonka asteluku on n

 

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja an ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x1x2, ..., xn(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { ak } ja sen juurien { xi } summien ja tulojen välille seuraavasti:

 


EsimerkkiMuokkaa

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille  , jonka juuret   toteuttavat yhtälön   pätee

 


Kolmannen asteen polynomille  , jonka juuret   toteuttavat yhtälön   pätee

 

TodistusMuokkaa

Polynomi p(X) voidaan juuriensa   avulla kirjoittaa seuraavasti

 

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

 

LähteetMuokkaa

  • H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly, 1930. Mathematical Association of America.
  • Ernest Vinberg: A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.
  • Dušan Djukić: The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004. Springer, New York, NY, 2006.