Kultainen kolmio (geometria)

Kultainen kolmio on tasakylkinen kolmio, jossa kaksi sivua on keskenään yhtä pitkiä ja niiden suhde kolmanteen sivuun on kultaisen leikkauksen suhdeluku:

Kultaisella kolmiolla kyljen suhde kantaan eli a : b on irrationaaliluku φ eli kultainen leikkaus.

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.$

Tasakylkinen kolmio, jonka kärkikulma on 36 astetta, on kultainen kolmio, mikä voidaan todistaa seuraavasti:

Todistus

Kultainen kolmio ja sen jako toiseen kultaiseen kolmioon ja kultaiseen gnomoniin

Jokaisen kolmion kulmien summa on 180 astetta, ja tasakylkisen kolmion molemmat kantakulmat ovat yhtä suuret. Jos siis kärkikulma on 36 astetta, on kumpikin kantakulma

${\frac {180^{\circ }-36^{\circ }}{2}}=72^{\circ }$

Näin ollen kumpikin kantakulma on kaksi kertaa kärkikulman suuruinen.

Merkitään kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C siten, että A on kärkikulman ja muut kantakulmien kärkiä. Piirretään kulmalle C puolittaja, ja merkitään X:llä sitä pistettä, jossa se leikkaa sivun AB. Myös kolmiossa XCB on yhden kulman (XCB) suuruus 36 ja toisen (XBC) 72 astetta, ja näin ollen se on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion ABC kanssa. Yhdenmuotoisuudesta seuraa:

${\frac {AC}{BC}}={\frac {BC}{BX}}$

ja saman tasakylkisen kolmion sivuina janat BC ja CX ovat yhtä pitkiä. Kolmio ACX on myös tasakylkinen, koska siinä kulmat ACX ja CAX ovat kumpikin 36 astetta, ja näin ollen jana BC on myös yhtä pitkä kuin AX. Samoin janat AB ja AC ovat yhtä pitkiä. Koska saman janan osina BX = AB - AX, ja lisäksi tasakylkisessä kolmiossa saadaan edelleen:

${\frac {AB}{AX}}={\frac {AX}{BX}}$,

ja koska piste X sijaitsee janalla AB, se jakaa tämän janan siten, että koko janan suhde suurempaan osaan (AX) on sama kuin tämän suuremman osan suhde pienempään osaan (BX). Näin on laita vain, jos piste jakaa janan kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa. mot.

Ominaisuuksia

Jos siis janan BX pituus on 1, on janojen AX, CX ja BC pituus $\varphi$ sekä kolmion kylkien AB ja AC pituus 1 + $\varphi$ = $\varphi$².

Tästä kultaisen kolmion ominaisuudesta voidaan johtaa myös trigonometristen funktioiden tarkat arvot 18, 36 ja 72 asteen kulmille. Esimerkiksi:

$\sin {2\pi \over 20}=\sin 18={\frac {1}{2\varphi }}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 0{,}309017$

Kultainen kolmio on samalla ainoa kolmio, jonka kulmien suhteet ovat 2:2:1.

Säännöllinen kymmenkulmio voidaan jakaa sen keskipisteen kautta kulkevien lävistäjien avulla kymmeneen kultaiseen kolmioon. Säännöllisen viisikulmaisen tähtikuvion eli pentagrammin jokainen sakarakolmio on myös kultaisen kolmion muotoinen.

Kultainen gnomoni

Kultaiseen kolmioon liittyy läheisesti myös kultainen gnomoni. Se on tylppäkulmainen tasakylkinen kolmio, jonka kulmat ovat 36, 36 ja 108 astetta. Siinä siis kulmien suhteet ovat 1:1:3. Edellä esitetyssä todistuksessa käytetty kolmio ABX on kultainen gromoni. Tällaista kultaisen kolmion kahtiajakoa sanotaan Robinsonin kolmioiksi.

Samoin kuin kultainen kolmio voidaan jakaa toiseen kultaiseen kolmioon ja kultaiseen gnomoniin, voidaan myös kultainen gnomoni jakaa toiseen kultaiseen gnomoniin ja kultaiseen kolmioon.

Voidaan osoittaa, että koko taso voidaan täyttää kultaisilla kolmioilla ja kultaisilla gnomoneilla. Tällä tavoin muodostetaan Penrosen laatat.

Katso myös

• Kultainen leikkaus
• Kultainen suorakulmio
• Pentagrammi
• Keplerin kolmio

Aiheesta muualla

• Golden triangle article, Wolfram MathWorld
• Robinson triangles (Arkistoitu – Internet Archive), Tilings Encyclopedia