Geometrinen keskiarvo

Positiivisten lukujen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}\$ geometrinen keskiarvo $g(x)\$ on keskiluku, joka kuvaa lukujen keskiarvoa logaritmisella asteikolla. Geometrinen keskiarvo lasketaan kaavalla

$g(x)=(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{N})^{\frac {1}{N}}={\sqrt[{N}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{N}}}$.

Logaritminen keskiarvo

Geometrista keskiarvoa kutsutaan joskus myös logaritmiseksi keskiarvoksi, koska logaritmi- ja eksponenttifunktioiden avulla $g(x)$ voidaan laskea muodostamalla lukujen $a$-kantaisten logaritmien aritmeettinen keskiarvo ja laskemalla tuloksesta $a$-kantainen eksponenttifunktio:

$g(x)=a^{{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\log _{a}x_{i}}$,

missä $a$ on positiivinen luku.

Yleensä kuitenkin kahden luvun logaritminen keskiarvo määritellään kaavalla

$L(x,y)={\frac {x-y}{lnx-lny}}$,

missä $x$ ja $y$ ovat erisuuria positiivisia lukuja. Kahden erisuuren positiivisen luvun logaritminen keskiarvo on suurempi kuin niiden geometrinen keskiarvo ja pienempi kuin niiden aritmeettinen keskiarvo.

Keskiverto

Jos lukuja on vain kaksi, niiden geometrisesta keskiarvosta käytetään myös nimitystä keskiverto. Tämä selittyy sillä, että jos verrannossa

${\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$

sen keskimmäiset jäsenet $B$ ja $C$ ovat yhtä suuret, niin tällöin kyseinen luku on suuruudeltaan verrannon äärimmäisten jäsenten $A$ ja $D$ geometrinen keskiarvo, toisin sanoen $B=C={\sqrt {A\cdot D}}$.

Katso myös

• Keskiluku
• Aritmeettinen keskiarvo
• Harmoninen keskiarvo