Goursat’n lemma

Goursat'n lemma on Édouard Goursat'n vuonna 1884 todistama funktioteorian tulos, joka on samalla Cauchyn integraalilauseen erikoistapaus. Sen mukaan holomorfisen funktion integraali kolmion muotoisen polun yli on nolla.

Lemman täsmällinen muotoilu

Olkoon funktio f holomorfinen alueessa A $\subset \mathbb {C}$ ja Δ kolmion muotoinen alue, jonka sulkeuma sisältyy alueeseen A. Silloin on

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=0$.

Lemman merkitys

Goursat'n lemma sellaisenaan pätee vain kolmion muotoisille alueille. Kun kuitenkin jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioihin, lemmasta seuraa välittömästi, että sama pätee myös jokaiselle monikulmiolle, ja koska jokaista yhdesti yhtenäistä tasoaluetta voidaan approksimoida jonolla sen yhä tarkemmin peittäviä monikulmioita, pätee vastaava tulos, Cauchyn integraalilause, myös kaikille niille. Cauchyn integraalilausetta, jonka erikoistapaus Goursat'n lemma on, voidaan pitää funktioteorian perustavimpana lauseena. Sen mukaan annetulla alueella holomorfisen funktion integraali tähän alueeseen sisältyvän suljetun käyrän yli on nolla. Cauchy todisti tämän lauseen tietyin edellytyksin jo 1820-luvulla. Hänen käyttämänsä holomorfisen funktion määritelmä, samoin kuin hänen käyttämänsä todistuskin, kuitenkin edellyttivät, paitsi että funktiolla on derivaatta, myös sen että sen derivaatta on jatkuva. Goursat'n lemman todistuksessa sitä vastoin ei oleteta, että derivaatan on oltava jatkuva, ainoastaan, että funktiolla on derivaatta jollakin alueella. Goursat'n lemmasta kuitenkin seuraa, että tällöin derivaatta on myös jatkuva, sillä Cauchyn integraalilauseesta seuraa Cauchyn integraalikaava, jonka avulla voidaan osoittaa, että holomorfinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva.

Täten Goursat'n lemma teki mahdolliseksi todistaa perustavanlaatuinen Cauchyn integraalilause olettamatta, että kompleksinen derivaatta on jatkuva. Nykyisin kompleksisen derivaatan jatkuvuutta ei yleensä sisällytetä holomorfisen funktion määritelmäänkään, sillä Goursat'n lemma osoitti, että se seuraa kompleksisen derivaatan olemassaolosta. Vaikka Goursat'n lemmalla ei ole käytännön merkitystä integraaleja laskettaessa, niin teoreettisessa mielessä tulos on tärkeä holomorfisten funktioiden luokan minimaalisen määritelmän valintaan (valinta on tehty Cauchyn integraalilauseen perusteella, sillä koko sovelluksiltaan rikas funktioteoria perustuu siihen).

Todistus

Kolmion jako neljään keskenään yhtenevään kolmioon

Kolmion Δ sivujen keskipisteet voidaan yhdistää janoilla, jotka jakavat alkuperäisen kolmion neljään keskenään yhtenevään kolmioon, jotka lisäksi ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Näille kolmioille käytetään seuraavassa merkintöjä Δ₁, Δ₂, Δ₃ ja Δ₄, ja δ on seuraavassa reunan merkki, joka tarkoittaa aina, että kolmio, jonka merkinnän eteen se on sijoitettu, kierretään vastapäivään sen reunaa myöten. Tällöin

$I=\int _{\delta \Delta }f(x)\,dx=\Sigma _{n-1}^{4}\int _{\delta \Delta _{i}}f(x),$

sillä muodostettaessa viimeksi mainittu summa tulee funktio integroiduksi niiden alkuperäisen kolmion Δ keskipisteiden yhdistysjanojen yli kahteen kertaan, vastakkaisiin suuntiin, jolloi näiden janojen yli otetut integraalit ovat toistensa vastalukuja. Valitaan kolmioksi Δ₁ se näistä kolmioista, jonka reunan ympäri otettuna funktion f integraali on itseisarvoltaan suurin. Jos tämän integraalin arvolle käytetään merkintää I₁ on siis |I| = |I₁|. Käytetään kolmioiden Δ ja Δ₁ pinta-aloille merkintöjä |Δ| ja |Δ₁|, jolloin |Δ| = 4 |Δ₁|. Tällöin saadaan:

${\frac {|I|}{|\Delta |}}\leq {\frac {|I_{1}|}{\Delta _{1}}}$.

Tämä menettely voidaan toistaa jakamalla edelleen Δ₁ neljään yhtenevään kolmioon ja valitsemalla niistä se, jonka reunan yli laskettuna f:n integraalilla on suurin itseisarvo, ja jakamalla tämä kolmio edelleen neljään yhtenevään kolmioon ja niin edelleen. Täten saadaan päättymätön jono sisäkkäisiä kolmiota: $\Delta \supset \Delta _{1}...\supset \Delta _{n}$, joille pätee:

${\frac {|I|}{|\Delta |}}\leq {\frac {|I_{1}|}{\Delta _{1}}}\leq ...\leq {\frac {|I_{1}|}{\Delta _{1}}}\leq ...$,

missä

$I_{n}=\int _{\delta }\Delta _{n}f(x)dx$

ja |Δ_n| on kolmion Δ_n pinta-ala.

Konstruktiosta seuraa topologisesti, että kaikkien näin saatujen kolmioiden Δ_n leikkaus

$\bigcap _{i=1}^{\infty }\Delta _{i}$

käsittää vain yhden pisteen, jolle voidaan käyttää merkintää z₀.

Koska funktiolla f on oletuksen mukaan derivaatta jossakin pisteen z₀ ympäristössä, on:

$\int _{\delta \Delta _{n}}f(x)dx=f(z_{0})\int _{\delta \Delta _{n}}dz+f'(z_{0})\int _{\delta \Delta _{n}}(z-z_{0})dz+\int _{\delta \Delta _{n}}dz(z-z_{0})\eta (z-z_{0})dz$,

missä Δ (z-z₀ lähestyy nollaa, kun z lähestyy arvoa z₀.

Kahdessa ensimmäisessä yllä olevassa integraalissa on integroitavana vakiofunktio f(z) = 1 sekä funktio f(z) = z-z₀. Näillä molemmilla on integraalifunktio, edellisellä z, jälkimmäisen (z-z₀)²/2. Jo ennen Gourzat'n lemmaa oli kompleksifunktioiden osalta todistettu, että jos funktiolla on integraalifunktio, sen integraali säännöllisen umpinaisen polun yli on nolla. Kolmannessa integraalissa taas lauseke |z-z₀| lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta. Lukujonon raja-arvon määritelmän mukaan näin ollen jokaista positiivista lukua ε kohti on olemassa sellainen kokonaisluku n_ε, että kun n ≥ n_ε, on |η (z-z₀)| < ε. Jos |δΔ_n| on kolmion Δ_n kehän pituus, saadaan jo aikaisemmin todistetun epäyhtälön perusteella:

$|I_{n}|=|\int _{\delta }\Delta _{n}(z-z_{0})\eta (z-z_{0})dz|\leq \epsilon |\delta \Delta _{n}|^{2}$.

Tästä seuraa:

${\frac {|I|}{|\Delta |}}\leq {\frac {|I_{n}|}{|\Delta _{n}|}}\leq \epsilon {\frac {|\delta \Delta _{n}|^{2}}{|\Delta _{n}|}}$.

Kun kuitenkin kaikki kolmiot Δ, Δ₁, ..., Δ_n jne. ovat yhdenmuotoisia, on

${\frac {|\delta \Delta _{n}|^{2}}{|\Delta _{n}|}}={\frac {|\delta \Delta |^{2}}{|\Delta |}}$

ja näin ollen

$|I|\leq \epsilon |\delta \Delta |^{2}$,

mikä on mahdollista vain, jos I = 0, mikä oli todistettava.

Lähteet

• Lehto, Olli: ”Cauchyn integraalilause”, Funktioteoria I–II, s. 50–52. Limes ry, 1980. ISBN 951-745-077-X.