Avaa päävalikko

Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta.

Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.

MonitahokasMuokkaa

Eulerin karakteristika   määritellään monitahokkaalle kaavalla

 

missä V, E ja F ovat kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Karakteristikan merkitys on siinä, että se riippuu vain monitahokkaan topologisista ominaisuuksista. Voidaan osoittaa, että karakteristika riippuu vain monitahokkaan muodostaman pinnan genuksesta ja suunnistuksesta. Merkitään genusta kirjaimella g (g on aina positiivinen kokonaisluku tai nolla). Jos pinta on suunistettu, niin

 

Jos monitahokas on homeomorfinen pallon kanssa, niin g=0, joten tällöin

 

Erityisesti jos monitahokas on konveksi, niin g=0. Tämä tulos tunnetaan Eulerin monitahokaslauseena.

Esimerkkejä konvekseista monitahokkaistaMuokkaa

Konveksin monitahokkaan Eulerin karakteristika on siis 2. Tätä voidaan käyttää sen osoittamiseen, että on olemassa vain viisi säännöllistä monitahokasta:

Nimi Kuva V (kärjet) E (särmät) F (tahkot) Eulerin karakteristika: VE + F
Tetraedri   4 6 4 2
Heksaedri eli kuutio   8 12 6 2
Oktaedri   6 12 8 2
Dodekaedri   20 30 12 2
Ikosaedri   12 30 20 2