Homologia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

Yleinen rakennelmaMuokkaa

Olkoon   avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi  , joka sisältää jotain tietoa  :stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

 ,

missä   ja  , niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että  , ja voidaan rakentaa tekijäryhmä  , jonka sanotaan olevan  . homologiaryhmä  :stä.

Singulaarinen homologiaMuokkaa

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi  -simpleksi   on joukko vektoreita  -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

 

ja  -simpleksi   topologisessa avaruudessa   on jatkuva kuvaus  :stä  :ään:

 

 :n reuna   on määritelty formaaliksi summaksi   rajoitettu  :n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos   on viiva  , niin silloin   ja  . Olkoon   rengas. Tällöin voidaan konstruoida  -moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki  -simpleksejä  :ssä  . Nyt meillä on  -moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta   sanotaan  -reunoiksi   ja kuvausta   sanotaan  -sykleiksi  .  :n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten   (eli   jokaiselle  :lle).

Eksakteja jonojaMuokkaa

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono

 ,

missä  . Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

 

eli  ;

 

eli   ja   ovat isomorfisia.

Jos  ,  , ja   ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

 

eli

 

jokaiselle  :lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

 

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Kategorinen näkökulmaMuokkaa

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna   on kovariantti funktori. Siis jos   ja   ovat samassa kategoriassa  , ja   on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa   vie  :n  :iin. Usein   kirjoitetaan  .

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos   on ketju jossain topologisessa avaruudessa  , ja   on jatkuva kuvaus, niin summa   on ketju  :ssä. Näin  :stä tule homomorfismi  .

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori   on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 874–876. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.

Aiheesta muuallaMuokkaa